抛物线

定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的轨迹.

标准方程：
焦点：
准线：

过焦点弦长 .

焦点弦长最短为通径，长为

抛物线切线方程：

过抛物外外一点所引两条切线的切点弦方程是 .

抛物线与直线相切的条件是

例1

过点任作直线交抛物线于两点，则的值为______.

Sol:

设直线两交点分别为

由韦达定理有

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{|MP|^2}+\dfrac{1}{|MQ|^2}\\ =&\dfrac{1}{(1+m^2)y_1^2}+\dfrac{1}{(1+m^2)y_2^2}\\ =&\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{y_1^2+y_2^2}{y_1^2y_2^2}=\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{y_1^2+y_2^2+2y_1y_2-2y_1y_2}{y_1^2y_2^2}\\ =&\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{y_1^2y_2^2} \end{aligned}$

把韦达定理带入得

Sol2:

取特值，当取直线时，得

例2

在椭圆上两点于中心的连线相互垂直，则的值为______.

Sol:

设所在的直线为
易知得所在的直线为

为直线与椭圆的交点
有
同理有

当与轴或轴重合时，易知

Sol2:

取特殊情况：
当与轴重合时，易知

例3

椭圆方程过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，求证为定值.

Sol:

当所在直线与轴重合时，
易知为左右顶点
为上顶点或下顶点，有

同理，当所在直线与轴重合时，

当所在直线不与坐标轴重合时，设直线

又易知
在的垂直平分线上.
设所在直线为

Sol2:

取特殊位置：
当所在直线与轴重合时，
易知为左右顶点
为上顶点或下顶点，有

例4

易知椭圆方程，设点是椭圆上的一点，异于，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证为定值.

Sol:

设
易知所在直线为
令，得

同理知

$\begin{aligned} &|AN|\cdot|BM|\\ =&\left|2+\dfrac{x_0}{y_0-1}\right|\cdot\left|1+\dfrac{2y_0}{x_0-2}\right|\\ =&\left|\dfrac{x_0+2y_0-2}{y_0-1}\cdot\dfrac{x_0+2y_0-2}{x_0-2}\right|\\ =&\left|\dfrac{x_0^2+4y^2+4x_0y_0-4x_0-8y_0+4}{x_0y_0-x_0-2y_0+2}\right| \end{aligned}$
把带入上式得

Sol2:

取特殊点
易得

例5

椭圆方程，设是第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.

Sol:

由几何关系易知四边形的面积为

例6

已知抛物线的焦点为是抛物线上的两个动点，且过点分别作抛物线的切线，设交点为，证明为定值.

Sol:

由题目知，设
由知

又
带入得

联立

过抛物线两点的切线分别是

化简得

解得两条切线的交点的坐标为

所以

抛物线及圆曲定值问题

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