数学二-知识点

0. 解题思路

重要的等价无穷小 P10
基本初等函数导数公式、n阶导数公式 P41
基本积分公式 P94
多元函数极值条件 P187
麦克劳林展开式 P288
高阶线性方程公式 P308

0.1 构造函数

• lnx相关的构造函数：
  遇到 ln（a/b） ，构造函数为a-b，若a大于b，即a/b大于1，则 ln（a/b）大于0

0.2 推理方法

• 数学归纳法
  用数学归纳法可证之：对任意n，都有。。。。。。

1. 函数、连续、极限

1.1 函数

• 局部保号性
  类似证明方法：由函数极限的局部保号性知，存在δ＞0，使得当c∈（0，δ）时，有f（c）＜0。

1.2 极限

• 求极限
  求极限，先令lim x_n=a，再让，即可解出a

• 函数收敛：
  条件：
  设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a| 例：
  ，所以{xn}单调递减且存在下界。由单调有界准则可知，{xn}收敛，即lim xxx存在。

• 斜渐近线方程：
  设y=kx+b，然后把x取到无穷大
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• 重要的极限

• 隐藏的极限
  利用题目给的 lim f（x）/x<0 的条件，
  一个小于0的极限乘以0，结果还是0，
  可得f（0）=0

1.3 函数的连续与间断

2. 一元函数微分学

2.1 导数与微分、导数的计算

• 基本初等函数的导数公式 P41
• 对积分求导（变上限积分）：
  如果积分内函数里的变量x（当然另一个是积分变量t），在积分号上也存在（x），则做代换u=x-t
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2.2 导数的应用

• 拐点：
  若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在，或者，一阶导数的单调性改变（看清楚题目给的是几阶导数！）。

• 曲率：
  

2.3 中值定理、不等式与零点问题

中值定理：P68

• 费马定理

• 罗尔定理

• 拉格朗日中值定理
  两个相同的函数相减，且函数的导数容易得到，则想到拉格朗日中值定理

3. 一元函数积分学

3.1 不定积分与定积分的概念、性质、理论

3.2 不定积分与定积分的运算

• 不定积分：
  遇到根号下复杂的等式，直接用u代换

• sin的n次方积分
  积分限为0到pi/2：有公式
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  积分限为0到pi：硬算
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3.3 反常积分及其计算与判敛

题目所给的函数一般是可以积分出来的

3.4 定积分的应用

• 利用积分计算平面面积：
  分动点坐标x0，y0和积分坐标x，y；
  算出的积分函数S不含x，y，只含有x0，y0；
  注意题目提到t，就不要自己定义t。

• 旋转体体积
  

• 旋转体表面积
  

• 用定积分的定义计算极限：
  k/n=x
  1/n=dx
  积分限一般=[0,1]

5. 多元函数微分学

5.1 多元函数的极限、连续、偏导数和全微分

• 全微分->原函数
  已知df（x，y），求f（x，y）：
  先从（0，0）积分到（x，0），再从（x，0）积分到（x，y）

5.2 多元函数的微分法

5.3 极值与最值

• 无条件极值
  ABC对应xxxyyy
  AC-B^2>0有极值，A>0极小值

• 条件极值
  多元函数最值问题：利用拉格朗日数乘法，建拉格朗日函数

6. 多元函数积分学

6.1 重积分

• 优先考虑：
  对称性（奇偶性）
  累次积分交换次序 P220

6.2 曲线积分

6.3 曲面积分

7. 无穷级数（x）

不考，可应用

不能太早用泰勒展开，因为分母比分子高阶会出现无穷大，要继续求导

8. 常微分方程

8.1常微分方程 P305

1. 基本概念

2. 一阶方程
   通解公式必背（Q=0时不要忘了C）
   

已知特解，可假设P、Q，“待定系数法”求之

3. 可降价的高阶方程

4. 高阶线性方程

• 线性常系数非齐次方程：
  通解：
  齐次通解+非齐次特解
  特解：
  特征方程的根为复数时，特解中，x的多项式类特解（Qm（x））的前置x的次方数只可能为0，三角函数类特解（Rm（x）coswx）的前置的x的次方数只可能为0或1。
  特征方程为的根为实数时，x的次方数可以为0,1,2。

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1. 行列式

初等行、列变换使用场景
1、求矩阵的秩（极大线性无关组）可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩阵的秩不变”。（用可逆变换）
2、行列式求值可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。行列式的计算只要得出结果出来就行了。
3、解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。
4、求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换（左右式A｜E）。（或叠加排列式A／E只能列变换）

2. 矩阵

• 矩阵等价
  A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等。
  同型矩阵且秩相等。相似必定等价，等价不一定相似。

• 矩阵相似
  而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此可见相似的结论强于等价。

3.向量

A＝（α1，α2，α3）
Aα1=2α1+α2+α3,
Aα2=α2+2α3,
Aα3=-α2+α3

• 把A (alpha)转化成(alpha) A的方法：
  把alpha拆开
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4. 线性方程组

4.3 非齐次线性方程组
非齐次特解=齐次通解+非齐次特解

• 求满足AX=B的X，如果B有多列，就拆分成多个列向量，和A组成增广矩阵，最后把通解合并，取一个解即可
  注意，最后可能要判断X可不可逆

5、特征值、特征向量、相似矩阵

矩阵相似，可经初等列变换化为对应矩阵

• 相似矩阵的充要条件 P407
  存在可逆矩阵P，满足（注意对其转置、求逆后P的存在方式，转置变，求逆不变）；
  特征值相同，且线性无关特征向量数量相同；
  如A，B都相似与同一个对角阵，那么看看A，B线性无关的特征向量数是都相同；

相似对角化

• 应用于矩阵连乘
  
  设
  则有

6. 二次型

6.1 二次型、合同矩阵
普通二次型：有定量(<=n)的正、负惯性指数

6.2 标准型、规范型、合同二次型

标准型：只有平方项

• 如何求标准型？
  配方法

规范型：系数只有1和-1

• 如何在满秩、非满秩情况下求规范型？
  满秩：直接写成y
  非满秩：求特征值，得到lambda的正、负、零的个数，直接写出规范型（或者配方法+系数归一化）

6.3正定二次型：正惯性指数为n