数学二-知识点

0. 解题思路

重要的等价无穷小 P10
基本初等函数导数公式、n阶导数公式 P41
基本积分公式 P94
多元函数极值条件 P187
麦克劳林展开式 P288
高阶线性方程公式 P308

0.1 构造函数

lnx相关的构造函数：
遇到 ln（a/b），构造函数为a-b，若a大于b，即a/b大于1，则 ln（a/b）大于0

0.2 推理方法

数学归纳法
用数学归纳法可证之：对任意n，都有。。。。。。

1. 函数、连续、极限

1.1 函数

局部保号性
类似证明方法：由函数极限的局部保号性知，存在δ＞0，使得当c∈（0，δ）时，有f（c）＜0。

1.2 极限

求极限
求极限，先令lim x_n=a，再让，即可解出a
函数收敛：
条件：
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a| 例：
，所以{xn}单调递减且存在下界。由单调有界准则可知，{xn}收敛，即lim xxx存在。
斜渐近线方程：
设y=kx+b，然后把x取到无穷大
[图片上传失败...(image-76bce3-1637170828875)]@w=300
重要的极限
隐藏的极限
利用题目给的 lim f（x）/x<0 的条件，
一个小于0的极限乘以0，结果还是0，
可得f（0）=0

1.3 函数的连续与间断

2. 一元函数微分学

2.1 导数与微分、导数的计算

基本初等函数的导数公式 P41
对积分求导（变上限积分）：
如果积分内函数里的变量x（当然另一个是积分变量t），在积分号上也存在（x），则做代换u=x-t
[图片上传失败...(image-c33840-1637170828875)]@w=300

2.2 导数的应用

拐点：
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在，或者，一阶导数的单调性改变（看清楚题目给的是几阶导数！）。
曲率：

2.3 中值定理、不等式与零点问题

中值定理：P68

费马定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
两个相同的函数相减，且函数的导数容易得到，则想到拉格朗日中值定理

3. 一元函数积分学

3.1 不定积分与定积分的概念、性质、理论

3.2 不定积分与定积分的运算

不定积分：
遇到根号下复杂的等式，直接用u代换
sin的n次方积分
积分限为0到pi/2：有公式
[图片上传失败...(image-cb19a0-1637170828875)]@w=300
积分限为0到pi：硬算
[图片上传失败...(image-3d5d6a-1637170828875)]@w=400

3.3 反常积分及其计算与判敛

题目所给的函数一般是可以积分出来的

3.4 定积分的应用

利用积分计算平面面积：
分动点坐标x0，y0和积分坐标x，y；
算出的积分函数S不含x，y，只含有x0，y0；
注意题目提到t，就不要自己定义t。
旋转体体积
旋转体表面积
用定积分的定义计算极限：
k/n=x
1/n=dx
积分限一般=[0,1]

5. 多元函数微分学

5.1 多元函数的极限、连续、偏导数和全微分

全微分->原函数
已知df（x，y），求f（x，y）：
先从（0，0）积分到（x，0），再从（x，0）积分到（x，y）

5.2 多元函数的微分法

5.3 极值与最值

无条件极值
ABC对应xxxyyy
AC-B^2>0有极值，A>0极小值
条件极值
多元函数最值问题：利用拉格朗日数乘法，建拉格朗日函数

6. 多元函数积分学

6.1 重积分

优先考虑：
对称性（奇偶性）
累次积分交换次序 P220

6.2 曲线积分

6.3 曲面积分

7. 无穷级数（x）

不考，可应用

不能太早用泰勒展开，因为分母比分子高阶会出现无穷大，要继续求导

8. 常微分方程

8.1常微分方程 P305

基本概念
一阶方程
通解公式必背（Q=0时不要忘了C）

已知特解，可假设P、Q，“待定系数法”求之

可降价的高阶方程
高阶线性方程

线性常系数非齐次方程：
通解：
齐次通解+非齐次特解
特解：
特征方程的根为复数时，特解中，x的多项式类特解（Qm（x））的前置x的次方数只可能为0，三角函数类特解（Rm（x）coswx）的前置的x的次方数只可能为0或1。
特征方程为的根为实数时，x的次方数可以为0,1,2。

1. 行列式

初等行、列变换使用场景
1、求矩阵的秩（极大线性无关组）可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩阵的秩不变”。（用可逆变换）
2、行列式求值可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。行列式的计算只要得出结果出来就行了。
3、解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。
4、求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换（左右式A｜E）。（或叠加排列式A／E只能列变换）

2. 矩阵

矩阵等价
A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等。
同型矩阵且秩相等。相似必定等价，等价不一定相似。
矩阵相似
而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此可见相似的结论强于等价。

3.向量

A＝（α1，α2，α3）
Aα1=2α1+α2+α3,
Aα2=α2+2α3,
Aα3=-α2+α3

把A (alpha)转化成(alpha) A的方法：
把alpha拆开
[图片上传失败...(image-69366f-1637170828875)]@w=400

4. 线性方程组

4.3 非齐次线性方程组
非齐次特解=齐次通解+非齐次特解

求满足AX=B的X，如果B有多列，就拆分成多个列向量，和A组成增广矩阵，最后把通解合并，取一个解即可
注意，最后可能要判断X可不可逆

5、特征值、特征向量、相似矩阵

矩阵相似，可经初等列变换化为对应矩阵

相似矩阵的充要条件 P407
存在可逆矩阵P，满足（注意对其转置、求逆后P的存在方式，转置变，求逆不变）；
特征值相同，且线性无关特征向量数量相同；
如A，B都相似与同一个对角阵，那么看看A，B线性无关的特征向量数是都相同；

相似对角化

应用于矩阵连乘

设
则有

6. 二次型

6.1 二次型、合同矩阵
普通二次型：有定量(<=n)的正、负惯性指数

6.2 标准型、规范型、合同二次型

标准型：只有平方项

如何求标准型？
配方法

规范型：系数只有1和-1

如何在满秩、非满秩情况下求规范型？
满秩：直接写成y
非满秩：求特征值，得到lambda的正、负、零的个数，直接写出规范型（或者配方法+系数归一化）

6.3正定二次型：正惯性指数为n