数模笔记9-综合评价类

常见综合评价类算法

什么是综合评价问题

综合评价就是运用多个指标对多个参评单位进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，又称综合评价法，其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。

• 特点

  1. 评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的。
  2. 在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理。
  3. 评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位 “ 综合状况 ” 的排序。

• 目的

  1. 分类 —— 对所研究对象的全部个体进行分类；
  2. 比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；
  3. 考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。

• 构成综合评价问题的五个要素

  构成综合评价问题的五个要素分别为：被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。

  1. 被评价对象

     被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于 1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象 (或系统)，分别记为S1，S2，…，Sn（n>1）。

  2. 评价指标

     评价指标是反映被评价对象（或系统）的运行（或发展）状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。

     一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。

     评价指标体系应遵守的原则: 系统性、科学性、可比性、可测性 (即可观测性) 和独立性。这里不妨设系统有 m 个评价指标 (或属性)，分别记为x1,x2,…xm（m>1），即评价指标向量为x=(x1,x2,…xm)^T。

  3. 权重系数

     每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用wj来表示评价指标xj(j=1,2,…,m)的权重系数，则应有wj≥0(j=1,2,…,m)，且wj之和为1。

     注意到：当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。

  4. 综合评价模型

     对于多指标（或多因素）的综合评价问题, , 就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。
     $$\begin{gathered} 不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为x=（x_1,x_2,...,x_m{)}^T，指标权重向量为w=(w_1,w_2,...,w_m{)}^T \\ 由此构造综合评价函数为y=f(W,x)。 \\ 如果已知各评价指标的n个观测值为\{x_{ij}\}(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m) \\ 则可以计算出各系统的综合评价值y_i=f(w,x^{(i)}),x^{(i)}=(x_{i1},x_{i2},...,x_{im}{)}^T(i=1,2,...,n) \\ 根据y_i(i=1,2,...,n)值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果 \end{gathered}$$

  5. 评价者

     评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。

• 综合评价的一般步骤

  1. 确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程度？）
  2. 建立评价指标体系
  3. 对指标数据做预处理
     • （1） 使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；
     • （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理——计算单项评价值。
  4. 确定各个评价指标的权重
  5. 求综合评价值——将单项评价值综合而成。

• 评价指标权重计算

  确定指标权重方法：

  • 主观定权法
    • 专家评分法
    • 成对比较法
    • Saaty权重法
  • 客观定权法
    • 模糊定权法
    • 秩和比法
    • 熵权法
    • 相关系数法
    • 其它方法

  定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。

• 评价指标的规范化处理

  1. 指标的类型：

     定性：优、良、中、一般、差；很高、高、一般、低、很低

     定量：①极大型（正向）②极小型（逆向）③居中型

  2. 定性指标的量化（评分法）

     等级	很低	低	一般	高	很高
     分值	1	3	5	7	9

  3. 定量指标类型的一致化

     一般说来，在评价指标x1,x2,…xm（m>1）中可能包含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。

     极大型指标：总是期望指标的取值越大越好；

     极小型指标：总是期望指标的取值越小越好；

     中间型指标：总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;

     区间型指标：总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。

     1. 对与极小型指标 fi
        $$\begin{gathered} 令b_{ij}=M-a_{ij},(M>0) \\ 或b_{ij}=\frac{1}{a_{ij}}(a_{ij}>0) \\ 则b_{ij}属极大型指标值 \end{gathered}$$

     2. 对于居中型指标 fk
        $$\begin{gathered} 令b_{ij}=\{\begin{array}{l}\frac{2(a_{ik}-m)}{M-m}m<=a_{ik}<=\frac{m+M}{2}\\ \frac{2(M-a_{ik})}{M-m}\frac{m+M}{2}<=a_{ik}<=M\end{array} \\ 其中：m和M分别为指标f_k允许下界和上界 \end{gathered}$$

  4. 评价指标的无量纲化

     在实际中的评价指标x1,x2,…xm（m>1）之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。

     如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出 “ 大数吃小数 ” 的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。

     无量纲化处理又称为指标数据的标准化, 或规范化处理。

     常用方法: 标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。

     1. 向量归一化
        $$\begin{gathered} x=(x_1,x_2,...,x_n) \\ {x}^0=(\frac{x_1}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i},\frac{x_2}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i},...,\frac{x_n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}) \end{gathered}$$

     2. 极差变换法：

        • 对于正向指标 fj ：
          $$\begin{gathered} 记a_j^{\ast }=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_{ij}\}{a}_j^0=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_{ij}\} \\ {x}_{ij}=\frac{a_{ij}-a_j^0}{a_j^{\ast }-a_j^0} \end{gathered}$$

        • 对于逆向指标 fk ：
          $$\begin{gathered} 记a_k^{\ast }=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_{ik}\}{a}_k^0=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_{ik}\} \\ {x}_{ik}=\frac{a_k^{\ast }-a_{ik}}{a_k^{\ast }-a_k^0} \end{gathered}$$

     3. 线性比例变换法

        • 对于正向指标 fj ：
          $$x_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_j^{\ast }}其中a_j^{\ast }=\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_{ij}\}\ne 0$$

        • 对于逆向指标 fk ：
          $$x_{ik}=\frac{a_k^{\ast }}{a_{ik}}其中a_k^{\ast }=\underset{1\le i\le n}{\min }\{a_{ik}\}$$

常用综合评价方法

1. 线性加权综合法

   用线性加权函数y=Σ wjxj作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。

   **适用条件：**各评价指标之间相互独立。

   对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。

   主要特点：

   1. 各评价指标间作用得到线性补偿；
   2. 权重系数的对评价结果的影响明显。

2. 非线性加权综合法

   用非线性函数y=Π xj^wj作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价，其中wj为权系数，且要求xj≥1。

   **适用条件：**各指标间有较强关联性。

   主要特点：

   1. 对数据要求较高，指标数值不能为0、负数
   2. 乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。

3. 逼近理想点（TOPSIS）方法

   设定系统指标的一个理想点（x^*1,x^*2,…,x^*m），将每一个被评价对象与理想点进行比较。

   如果被某一个被评价对象指标（xi1,xi2,…,xim）在某种意义下与（x^*1,x^*2,…,x^*m）最接近，则被评价对象（xi1,xi2,…,xim）为最好的。

   定义二者之间的加权距离：
   $$\begin{gathered} y_i=\sum _{j=1}^m{w}_{j}f(x_{ij},x_j^{\ast }),i=1,2,...,n \\ 其中w_j为权系数，f(x_{ij},x_j^{\ast })为x_{ij}与x_j^{\ast }之间的某种意义下距离 \\ 通常可取f(x_{ij},x_j^{\ast })=(x_{ij}-x_j^{\ast }{)}^2 \\ 则综合评价函数为y_i=\sum _{j=1}^m{w}_j(x_{ij}-x_j^{\ast }{)}^2,i=1,2,...,n \end{gathered}$$
   按照 yi 值的大小对各被评价方案进行排序选优，其值越小方案就越好。

   特别的，当某个 yi = 0 时，则对应的方案就是最优的。

模糊综合评价

对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价。

模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线

模糊子集与隶属函数

设U是论域，称映射A(x)：U—>[0，1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度。

使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。

当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.。可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。

一级模糊综合评价的基本步骤

1. 确定评价指标集U={u1,u2,…,un}

   确定评语集V={v1,v2,…,vm}

2. 求出模糊评价矩阵P（往往根据具体数据）其中P ij 表示方案X 在第i个指标处于第j级评语的隶属度。

   设各指标的权系数向量为：A=(W1,W2,…,Wn)

3. 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价结果向量B=AP（运算为模糊乘法, 逻辑乘 ∧ (两者取小)和逻辑加 ∨ (两者取大)）

多级模糊综合评价

评价因素较多时，很难合理给出评价指标的权重向量评价模型：
C = A B = A ( B 1 B 2 . . . B n ) = A ( A 1 R 1 A 2 R 2 . . . A n R n ) C=AB=A \begin{pmatrix} B_1\\ B_2\\ ...\\ B_n\\ \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} A_1R_1\\ A_2R_2\\ ...\\ A_nR_n\\ \end{pmatrix} C=AB=A ​B1​B2​...Bn​​ ​=A ​A1​R1​A2​R2​...An​Rn​​ ​

灰色关联分析

利用灰色关联分析进行综合评价的步骤

1. 根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。
   设 n 个数据序列（比较列）形成如下矩阵： ( X 1 ′ , X 2 ′ , . . . , X n ′ ) = ( x 1 ′ ( 1 ) x 2 ′ ( 1 ) . . . x n ′ ( 1 ) x 1 ′ ( 2 ) x 2 ′ ( 2 ) . . . x n ′ ( 2 ) . . . . . . . . . . . . x 1 ′ ( m ) x 2 ′ ( m ) . . . x n ′ ( m ) ) 其中 m 为指标的个数， X i ′ = ( x i ′ ( 1 ) , x i ′ ( 2 ) , . . . , x i ′ ( m ) ) , i = 1 , 2 , . . . , n 设n个数据序列 （比较列） 形成如下矩阵：\\ (X'_1,X'_2,...,X'_n)= \begin{pmatrix} x'_1(1) & x'_2(1) & ... & x'_n(1)\\ x'_1(2) & x'_2(2) & ... & x'_n(2)\\ ... & ... & ... & ...\\ x'_1(m) & x'_2(m) & ... & x'_n(m)\\ \end{pmatrix}\\ 其中m为指标的个数，X'_i=(x'_i(1),x'_i(2),...,x'_i(m)),i=1,2,...,n 设n个数据序列（比较列）形成如下矩阵：(X1′​,X2′​,...,Xn′​)= ​x1′​(1)x1′​(2)...x1′​(m)​x2′​(1)x2′​(2)...x2′​(m)​............​xn′​(1)xn′​(2)...xn′​(m)​ ​其中m为指标的个数，Xi′​=(xi′​(1),xi′​(2),...,xi′​(m)),i=1,2,...,n

2. 确定参考数据列

   参考数据列应该是一个理想的比较标准（虚拟的），可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作
   $$X_0^{\prime }=(x_0^{\prime }(1),x_0^{\prime }(2),...,x_0^{\prime }(m))$$

3. 对指标数据进行无量纲化（如有必要）

   无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
   ( X 0 , X 1 , . . . , X n ) = ( x 0 ( 1 ) x 1 ( 1 ) . . . x n ( 1 ) x 0 ( 2 ) x 1 ( 2 ) . . . x n ( 2 ) . . . . . . . . . . . . x 0 ( m ) x 1 ( m ) . . . x n ( m ) ) (X_0,X_1,...,X_n)= \begin{pmatrix} x_0(1) & x_1(1) & ... & x_n(1)\\ x_0(2) & x_1(2) & ... & x_n(2)\\ ... & ... & ... & ...\\ x_0(m) & x_1(m) & ... & x_n(m)\\ \end{pmatrix} (X0​,X1​,...,Xn​)= ​x0​(1)x0​(2)...x0​(m)​x1​(1)x1​(2)...x1​(m)​............​xn​(1)xn​(2)...xn​(m)​ ​

4. 计算关联系数

   分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数 ．
   $$\begin{gathered} {\zeta }_i(k)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|X_0(k)-X_i(k)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|X_0(k)-X_i(k)|}{|X_0(k)-X_i(k)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|X_0(k)-X_i(k)|} \\ 如果\{x_0(k)\}为最优值数据列，{\zeta }_i(k)越大越好；如果\{x_0(k)\}为最劣值数据列，{\zeta }_i(k)越大越不好。 \end{gathered}$$

5. 计算关联度

   对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，记为：
   $$r_{0i}=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{\zeta }_i(k)$$

6. 如果各指标在综合评价中所起的作用不同 ，可对关联系数求加权平均值即
   $$r_{0i}^{\prime }=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{W}_k\cdot {\zeta }_i(k)式中W_k为各指标权重$$

7. 依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果