离散数学主析取及主合取范式
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概念
一：析取范式与合取范式
百度百科
命题变项及其否定统称作文字。
仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p,┐q,r,q.
简单析取式: p,q,p∨q,p∨┐p∨r,┐p∨q∨┐r
简单合取式: p,┐r,┐p∧r,┐p∧q∧r,p∧q∧┐r
析取范式与合取范式
（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
（3）析取范式与合取范式统称为范式。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∨q∨r, p∨┐q∨r.
合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∧┐q∧r.
求范式的步骤
1．消去联结词→、←、↔；
2．利用德·摩根律将否定符号┐直接移到各个命题变元之前；
3．利用分配律。
命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一的。
二：主析取及主合取范式
主析取范式：
设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
若干个极小项的析取（并集）。
主合取范式：
设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
若干个极大项的合取（交集）。
极大项，极小项
极大项
包含全部数目的命题变元的析取表达式。
极小项
包含全部数目的命题变元的合取表达式。
所有极小项的析取为永真公式，所有极大项的合取为永假公式。
解法
等价公式
常用基本等价公式：
(G↔H)=(G→H)∧(H→G)=(¬G∨H)∧(¬H∨G);
(G→H)=(¬G∨H);(蕴含式)
G∨G=G,G∧G=G;(幂等律）
G∨H=H∨G,G∧H=H∧G;(交换律)
G∨(H∨S)=(G∨H)∨S,G∧(H∧S)=(G∧H)∧S;(结合律)
G∨(G∧H)=G,G∧(G∨H)=G;(吸收律)
G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S),G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S);(分配律)
G∨0=G;G∧1=G;(同一律)
G∧0=0,G∨1=1;(零律)
¬(G∨H)=¬G∧¬H，¬(G∧H)=¬G∨¬H(德摩根律)
例：(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)
0.﹁(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
1.(﹁p∧﹁(q∧r))∨(p∧q∧r)
2.(﹁p∧(﹁q∨﹁r))∨(p∧q∧r)
3.(﹁p∧﹁q)∨(﹁p∧﹁r)∨(p∧q∧r)
4.((﹁p∧﹁q)∧(r∨﹁r))∨((﹁p∧﹁r)∧(q∨﹁q))∨(p∧q∧r)
5.(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(p∧q∧r)
6.(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(p∧q∧r)
主析取范式m0∨m1∨m2∨m7
则可得出其主合取范式为M3∧M4∧M5∧M6
PS：
1.这里也用过主析取范式与主合取范式转换的相关知识，以及极大极小项的表示，本例m0–m7的表示，具体知识不详述。
2.使用公式转换法求主范式时，需要增加某一个命题变元，此时要注意正确加入该变
水真公式和永假公式，同时注意正确化简公式（如上述例子的3,4步的过渡）。
真值表
[直接给例子吧]
注：
“ = ”不是一个联结词，而是一种关系。而且具有以下三种性质：
1.自反性：即G=G
2.对称性：即若G=H,则H=G
3.传递性：即若G=H,H=S，则G=S