【FMCW 04】测角-Angle FFT

在之前的文章中,我们已经详尽讨论过FMCW雷达测距和测速的原理,现在来讲最后一块内容,测角。测角对于硬件设备具有要求,即要求雷达具有多发多收结构,从而形成多个空间信道(channel),我们正是利用这些channel间的差异性来完成对目标的测角。

本节讲述通用的Angle FFT测角的原理。

天线阵列

在一个具有多发多收的天线结构中,我们可以得到一个天线阵列(array)。一个Tx-Rx就构成了一个空间信道。
【FMCW 04】测角-Angle FFT_第1张图片
设相邻的两个天线之间排布间距为 d d d,到达角(angle of arrival,AoA)为 θ \theta θ,则相邻的两个天线之间会产生一个固定的光程差 d sin ⁡ θ d \sin \theta dsinθ,这个固定的光程差会造成相邻两个信道间接收回波固定的相位差。即
d sin ⁡ θ λ = Δ ϕ 2 π \frac{d \sin \theta}{\lambda}=\frac{\Delta \phi}{2\pi} λdsinθ=2πΔϕ
于是我们就有
sin ⁡ θ = λ 2 π d Δ ϕ \sin\theta = \frac{\lambda}{2 \pi d} \Delta \phi sinθ=2πdλΔϕ

最大测量角度

由于
− π < Δ ϕ < π -\pi<\Delta \phi < \pi π<Δϕ<π
所以最大测量角度为
θ m a x < arcsin ⁡ ( λ 2 d ) \theta_{max} < \arcsin (\frac{\lambda}{2d}) θmax<arcsin(2dλ)

取天线阵列间距为 λ 2 \frac{\lambda}{2} 2λ时,就可得此时测量达到达到角的范围正好在±90°,即

− 1 < sin ⁡ θ < 1 -1< \sin \theta < 1 1<sinθ<1
− 9 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ -90 ^{\circ} < \theta < 90^{\circ} 90<θ<90

但值得注意的是,虽然 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ与我们的 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ成正比,但由于 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 函数本身的非线性, θ \theta θ 在角度小时对 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ更敏感,或者说:在低角度范围(如AoA±30°)内测角的精度(或区分度)更高

可以看下面的函数图来有一个直观的认识:当我们在 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ轴取均匀标度,在 θ \theta θ 轴上的标度随角度的增加是越来越粗的。
【FMCW 04】测角-Angle FFT_第2张图片


相位差的周期性

在之前 测速 的文章中,我们已经讨论过相位差的周期性,及其基于数字域角分辨率下的FFT结果。那么,现在由于N个信道所造成的固定相位差,同样也会形成这个一个相位差的周期性。

借用一幅TI教程的示意图,我们此时对在同一range bin中且又在同一 velocity bin中的两个运动物体进行区分,那么,如果其AoA不同,我们就可以借由 angle FFT 来完成对这两个运动物体的区分。

【FMCW 04】测角-Angle FFT_第3张图片

角度分辨率

看得出来,此处的推导与测速中的推导相近。在数字域上的角速度分辨率为
Δ ω = 2 π N r a d i a n s / s a m p l e Δω= \frac{2 \pi}{N} radians/sample Δω=N2πradians/sample
其中N为FFT的点数,继续令 Δ ϕ = w \Delta \phi = w Δϕ=w,则
sin ⁡ ( θ + Δ θ ) − sin ⁡ ( θ ) = λ 2 π d ( Δ w + w ) − λ 2 π d w = λ 2 π d Δ w \sin(\theta + \Delta \theta) -\sin(\theta) = \frac{\lambda}{2 \pi d}(\Delta w +w) - \frac{\lambda}{2 \pi d}w = \frac{\lambda}{2 \pi d}\Delta w sin(θ+Δθ)sin(θ)=2πdλ(Δw+w)2πdλw=2πdλΔw

根据导数的定义,我们有
sin ⁡ ( θ + Δ θ ) − sin ⁡ ( θ ) Δ θ = cos ⁡ θ \frac{ \sin(\theta + \Delta \theta) -\sin(\theta) }{\Delta \theta}= \cos \theta Δθsin(θ+Δθ)sin(θ)=cosθ
于是,可进一步推得
cos ⁡ ( θ ) Δ θ = λ 2 π d Δ w \cos (\theta) \Delta \theta = \frac{\lambda}{2 \pi d}\Delta w cos(θ)Δθ=2πdλΔw
Δ θ = λ 2 π d cos ⁡ ( θ ) Δ w = λ N d cos ⁡ ( θ ) \Delta \theta = \frac{\lambda}{2 \pi d \cos (\theta) }\Delta w=\frac{\lambda}{N d \cos (\theta) } Δθ=2πdcos(θ)λΔw=Ndcos(θ)λ
这里同样可对之前低角度范围内测角的精度(或区分度)更高的原因做出解释: cos ⁡ θ \cos \theta cosθ在低角度时值更大,使得此时的 Δ θ \Delta \theta Δθ 有着更细微的取值。


如果取天线阵列间距为 λ 2 \frac{\lambda}{2} 2λ ,且设 θ = 0 \theta = 0 θ=0,就可以得到通常定义下的最精细的角度分辨率为
θ r e s = 2 N \theta_{res} = \frac{2}{N} θres=N2
可见其将受限于能够完成多发多收的天线数量。

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