题1 过定点的直线与圆相交于两点（相切则重合），根据割线定理、相交弦定理与切割线定理，的乘积是定值，称这个定值为点对圆的幂。
请用解析法证明圆幂定理：
定理1.1 任意一点引直线与圆相交于两点（相切则重合），那么是定值，且
(1.1)
其中为圆的半径，为到圆心的距离。
证明 如图1-1：
不失一般性，设圆的圆心在平面直角坐标系的原点，半径为，其方程为：
(1.2)
又设点的坐标为，那么的方程为：
(1.3)
或
(1.4)
(式(1.3)表示直线，式(1.4)表示直线)
设直线与圆的交点坐标为：
以下分两种情况：
情况1： 联立(1.2),(1.3)消去，并标准化二次方程得：
(1.5)
为方程(1.5)的两根，根据韦达定理有：
根据两点间的距离公式及的关系，有：
(为定值)。
情况2：联立(1.2),(1.4)，得A.B的坐标为：
同样可以计算(为定值)
综上所述：(为定值)，其中
评注 如图1-2，若在圆外，那么，对于圆的幂等于与圆切线段的平方。这是切割线定理的结论，即：
(1.5)
如图1-3，若在圆内，那么，对于圆的幂等于过且垂直的弦的一半的平方。这是交弦定理的结论，即：
(1.6)
题2(等幂线) 有圆，若点对的幂相等，称点为两圆的等幂点。两圆的所有等幂点构成的集合，可能是直线、也可能是圆、也可能是空集，请分情况讨论之。
解 称两圆的等幂点集合为两圆的等幂集或等幂线，关于等幂集，给出如下5个命题：
命题2.1 两圆半径、圆心距分别为为，且,那么它的等幂集是一条直线。
证明 不失一般性，设圆的圆心分别为，半径分别为，点的坐标为。因为命题条件。如图2.1：
根据圆幂的定义，有：
对圆的幂：
对圆的幂：
两幂相等，故：
去绝对值有两种结果：
或
展开整理：
(2.1)
或
(2.2)
因为，所以：
方程(2.2)产生的矛盾，舍去方程(2.2)。
经验证，方程(2.1)是两圆的等幂线方程，它是一条直线。
命题2.2 两圆半径、圆心距分别为为，且，那么它的等幂集是一条直线和一个圆，且这个圆的圆心在连心线的中点。
证明 因为，所以方程(2.2)有解，且解为的圆。经验证，方程(2.1)(2.2)所表示的直线与圆包含在等幂集里。
根据方程(2.2)，圆心坐标为，恰是两圆心的中点。
评注 特别指出，当时，方程(2.2)所表示的圆退化成一个点，且这个点在连心线的中点。
命题2.3 两个半径不同的圆同心，则其等幂集是一个圆。
证明 因为，所以方程(2.1)无解。但经验证，(2.2)所表示圆包含在等幂集里。
评注 方程(2.1)所表示的直线，称为根轴或等幂轴。方程(2.2)所表示的圆，称为等幂圆。
命题2.4 两圆的根轴与两圆的连心线垂直。
证明 方程(2.1)所表示的直线与垂直，所以它垂直连心线。
命题2.5 两圆相交（或相切），根轴过两个交点(或切点)。
证明 如图2-2，设圆的方程分别为：
(2.3)
(2.4)
其中，令，根据相交或相切条件，有：
(2.5)
(2.4)-(2.3)得：
得 (2.6)
把上式代入(2.3),(2.4)验证，得有实根，故为两交点的横坐标（相切时A,B重合）。比较式(2.1)可见，根轴通过点，命题得证。
评注 不等式(2.5)的几何意义为：
左边等号成立，表示两圆内切；
有边等号成立，表示两圆外切；
其余表示两圆相交。
题3（等差幂线定理） 图3-1，平面上有四个点，那么的充要条件为 (3.1)
证明 如图3-2，分别以为圆心，为半径作圆，使之对A而言等幂。这样可知：
(3.2)
若，因为两圆的等幂点，所以直线为两圆之根轴，所以为两圆的等幂点。所以：
(3.3)
联立(3.2)(3.2)，消去得(3.1)，这就证明了必要性。
若(3.1)成立，则联立(3.1)、(3.2)可得(3.3)，所以为两圆的等幂点，于是，充分性成立。
评注 本题的结论称为"等差幂线定理"。在证明过程中，(3.2)、(3.3)两边无绝对值是没问题的。这是因为：根轴上的每一点，要么都在两圆之外，要么都在两圆之内，要么在两圆的交点上，不管什么情况，圆幂公式去绝对值时，就是(3.2)、(3.3)的形式。也就是说，两圆根轴上的任意一点等幂方程可以写成：
认真体会命题2.1的证明，也能注意到这点。
推论3.1 到已知两点的距离平方差为常数的点的轨迹，是垂直于这两点的直线。
题4 如图4-1,三圆圆心不共线。为圆的两条公切线，为圆的两条公切线，为圆的两条公切线。其中，分别是它们的中点。求证：
三条直线相交于一点。
证明 由条件知：
直线是圆的根轴，
直线是圆的根轴，
直线是圆的根轴。
设与相交于，那么为三圆的等幂点，这说明在圆的根轴上，所以三线共点。
评注 本题公切线可以是外公切也可以是内公切。同时，切线的条件限制了三圆不能互相包含，只能相离或相交（包含相切）。实际上，以下命题更本质地说明三圆根轴的位置关系：
命题4.1 三圆不同心，圆心不共线，两两根轴相交于一点；三圆不同心，圆心共线，两两根轴平行。
推论 不同心不共线的三圆，有且只有一个等幂点，该点称为三圆的根心。
题5 如图5-1 为圆的切线，切点为，过点作直线交圆于，交弦于点，求证： (5.1)
证明 如图5-2，连接。
根据圆幂定理：
(5.2)
(5.3)
因为切圆于，所以，根据等差幂线定理有：
结合(5.2),(5.3)得：
评注 本题结论与 【平面几何】圆幂定理(2)
中的题4等价，推导如下：
题6 如图6-1，圆与的外接圆相切于点，与边相交于点，且和边相交。过点作的切线，切点为，连接，交于。求证：等于过点作圆的切线长。
证明 如图6-2，设过点A作两圆的切线，连接。
由弦切角定理知：
所以：
所以：共圆。
所以：
又由弦切角定理：
所以：
等角之补角相等，所以：
这样有：
所以
为对圆的幂，所以等于过点作圆的切线长。
评注6.1 注意图6-3与图6-4，两圆相切于点，过点作直线线分别交圆于，再作直线分别交圆于，那么。
以上结论对于内切与外切的结论是一样的，请分别证明之。
题6中，连接，则可以证明，这是解决题6的另一途径。（请试试）
评注6.2 如图6-4，与图6-1有所不同，切线与圆相切于不同于的另外一点L'，连接并延长，与的延长线交于，这时结论还成立吗？也就是说，是否等于到圆的切线长？
答案是肯定的，请证明之。
题7（2016年全国高中数学联赛） 图7-1所示，中，分别位于的延长线上，。设的外心分别为，直线分别交于。证明：是等腰三角形。
证明 如图7-2，设圆相交于点，连接交于。
直线为圆的根轴，所以点E到圆与圆的幂相等。
所以：
(7.1)
又
(7.2)
所以平分
同时由根轴性质知
由此可以判定
所以是等腰三角形。
评注 本题利用三角形内角平分线的性质，该性质可以描述为：
命题7.1 中，在线段上，那么平分当且仅当
证明 如图7-2，用表示面积，根据面积公式：
上面两式相除得
(7.3)
因
所以
所以(7.3)变为
所以
平分
题8(2007年西部数学奥林匹克) 圆,圆相较于，过点的一条直线分别交圆,圆于两点，分别在弧与弧上，直线交于点，直线交于点。已知点为的外接圆，求证：
当且仅当共圆。
证明 根据割线定理有：
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
设圆半径为，根据圆幂定理，有：
(8.5)
(8.6)
把(8.5)代入(8.3)，(8.6)代入(8.4)得下面两式：
(8.7)
(8.8)
所以，
共圆。
评注 两条线段相乘，作如下变化，往往会有意外的发现：
实际上，本文有几个例子都用到这个技巧，请认真阅读。
题9(2015年全国高中数学联赛) 如图9-1，内接于圆，为弧上一点，点在线段上，平分，过三点的圆与边AC交于点D，连结交圆于点，连结并延长与边交于点。证明：
证明 如图9-2，设交圆于，连接。
注意到：
所以：
于是有：
所以：
所以：
(9.1)
另一方面：
结合(9.1)有：
所以：
共线。
所以：
即
评注 本题证明共线的技巧需要注意并掌握。它利用以下第(1)个共线判定：
(1) 四点，若，则共线
(2) 四点，若，则共线
以上两个结论请画图理解之。
题10 如图10-1，设是边上的点，求证：以为直径的两圆的根轴必通过的垂心。
证明 如图10-2，设圆与直线交于点，圆与直线交于点。
因为圆的直径，所以：
同理：
所以直线的交点即为的垂心。
又容易知，共圆，所以：
上式左右两边分别为圆的幂，
可见为两圆的等幂点，所以垂心在两圆的根轴上。
评注图10-2中， 三角形的垂心在三角形之外。 三角形的垂心在三角形之内，证明过程类似，可以画图试试。
题11 如图11-1，已知两个半径不相等的圆相交于两点，且圆分别与圆内切于S、T两点，求证：的充要条件为共线。
证明 如图 11-2，连接，过作圆的切线相交于点，连接。
因分别切圆,圆，
所以点P为三圆之根心，
所以MN的延长线过点。
另因为圆之公切线，故，所以：
共线
同理：
有共线
(1)先证明必要性
由得
又由得：
共圆(四边形的对角和等于)
又由得：
共圆(四边形的对角和等于)
因此：
共圆。
由此得：
(11.1)
再根据弦切角定理有
(11.2)
代入(11.1)得
由上式可得：
共线
(2)再证明充分性
共线得
结合(11.2)得(11.1)，得共圆,
再由共圆得共圆，
从而有，即
评注 本题利用以下几个重要结论：
(1) 三圆圆心不共线，两两的根轴相交于根心。
(2)两圆相切，两圆的圆心与切点三点共线。本题中，共线，共线就是利用这个结论。
(3)有A,B,C,D四点，共线。
(4)有五个点，若有两组四点共圆，则这五点的任意四点都共圆。
题12 如图12-1,为三角形外心和内心，为内切圆在上的切点，设直线交于，交于，点分别为线段的中点，求证：
证明 由梅涅劳斯定理得：
上式结合得：
把代入上式得：
利用等比公式得：
把代入上式约去2得：
上式等价于：
等价于：
左边分解因式得
即
上式说明，为圆与圆的等幂点。
同理可证，为圆与圆的等幂点。
所以
评注 本题所用梅涅劳斯定理为：直线交三直线于，那么如下等式成立：
注意图12-2与图12-3的不同，梅涅劳斯定理对两图都成立。
另外，当共线时，梅涅劳斯定理也成立。在平面几何中，要彻底理解梅涅劳斯定理，这几种情况需要分别讨论。但使用解析几何，在代数的运算下，不需要讨论那么多情况。
题13 如图13-1，圆过顶点，且与交于。为,外接圆的交点，求证：
证明 设与的外接圆分别为，则：
是圆的根轴，
是圆的根轴，
是圆的根轴，
由是，直线交于一点，设其为点。
如图13-2，连接。
由共圆关系，不难得：
共圆，设这个圆为。
设为圆的半径，根据圆幂公式有：
(13.1)
(13.2)
(13.1)- (13.2)
上式说明：
题14 如图14-1，圆,圆的外公切线切两圆于，内公切线切两圆于，交于 ，求证：共线。
证明 如图14-2，延长交于点，连接
根据切线的性质，有：
共圆
从而有：
又因
所以
又由弦切角定理得：
由是得：（内错角相等）
又由得
（平行线性质）
注意，以为直径的圆与以为直径的圆交于点，
所以，点在圆和根轴上。
另一方面，不难看出：
与分别与圆和的直径垂直，
所以与分别是圆和的切线，
所以点在圆和根轴上；
同理可证点在圆和根轴上；
以上说明，共线。
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