iOS算法之二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆(详见堆排序)。二叉树不是树的一种特殊情形，尽管其与树有许多相似之处，但树和二叉树有两个主要差别：树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2； 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

详细代码请参考Algorithm。参考代码比文字好理解。

分类

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。完全二叉树的特点是：“叶子节点的位置比较规律”。因此在对数据进行排序或者查找时可以用到它，比如堆排序就使用了它。

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

(3)平衡二叉树——平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

二叉树的存储结构有顺序和链式两种方式。前者虽然使用简单，但是存在浪费空间的问题，举个例子，下图的二叉树，用顺序的方式存储(0表示空，没有子树)是1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 8 0 0 0。链式结构可以参考链表。

二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。即用一维数组存储二叉树中的结点。因此，必须把二叉树的所有结点安排成一个恰当的序列，结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。用编号的方法从树根起，自上层至下层，每层自左至右地给所有结点编号。

依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

但是对于一般的非完全二叉树来说，如果仍然按照从上到下、从左到右的次序存储在一维数组中，则数组下标之间不能准确反映树中结点间的逻辑关系，可以在非完全二叉树中添加一些并不存在的空结点使之变成完全二叉树，不过这样做有可能会造成空间的浪费。在最坏的情况下，一棵深度为k的右斜树，它只有k个结点，却需要2^k-1个结点存储空间。这显然是对存储空间的严重浪费，所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树或满二叉树。

二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。二叉树的每个结点最多有两个孩子，因此，每个结点除了存储自身的数据外，还应设置两个指针分别指向左、右孩子结点。data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。当没有孩子结点时，相应的指针域置为空。

左图就是二叉链表结构，右图是三叉链表结构

链式

二叉查找树

二叉树的提出其实主要就是为了提高查找效率，比如我们常用的 HashMap 在处理哈希冲突严重时，拉链过长导致查找效率降低，就引入了红黑树。二分查找可以缩短查找的时间，但是它要求 查找的数据必须是有序的。每次查找、操作时都要维护一个有序的数据集，于是有了二叉查找树这个概念。

二叉查找树（又叫二叉排序树），它是具有下列性质的二叉树：

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树

二叉查找树中，左子树都比节点小，右子树都比节点大，递归定义。根据二叉排序树这个特点我们可以知道：二叉排序树的中序遍历一定是从小到大的。比如上图，中序遍历结果是：

1 3 4 6 7 8 10 13 14

在最好的情况下，二叉排序树的查找效率比较高，是 O(logn)，其访问性能近似于折半查找；但最差时候会是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序树就是一个链表，这种情况下，需要遍历全部元素才行（见下图 ）。

二叉树

如果我们可以保证二叉排序树不出现上面提到的极端情况（插入的元素是有序的，导致变成一个链表），就可以保证很高的效率了。但这在插入有序的元素时不太好控制，按二叉排序树的定义，我们无法判断当前的树是否需要调整。因此就要用到平衡二叉树（AVL 树）了。平衡二叉树在添加和删除时需要进行旋转保持整个树的平衡，内部做了这么复杂的工作后，我们在使用它时，插入、查找的时间复杂度都是 O(logn)，性能已经相当好了。

遍历顺序

二叉的遍历方式有四种：

第一种：前序遍历。先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
第二种：中序遍历。先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树。
第三种：后序遍历。先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
第四种：层序遍历。一层层节点依次遍历。

二叉树

这颗二叉树的前序遍历：1-2-4-5-7-3-6
中序遍历：4-2-5-7-1-6-3
后序遍历：4-7-5-2-6-3-1
层序遍历：1-2-3-4-5-6-7

先序遍历是先访问根结点，再左子树，再右子树。中序是先访问左子树, 再根结点，再右子树。后序是先访问左子树, 再右子树，再根结点。递归固然是清晰明了，但是存在效率低的问题，非递归的方案用栈结构来存结点信息，通过出栈访问来遍历二叉树。它思想是这样的，当栈顶中的指针非空时，遍历左子树，也就是左子树根的指针进栈。当栈顶指针为空时，应退至上一层，如果是从左子树返回的，访问当前层，也就是栈顶中的根指针结点。如果是从右子树返回，说明当前层遍历完毕，继续退栈。