矩阵论-特征值的极值, since 2021-02-12

(2021.02.06推导)

Rayleigh-Ritz定理

设为对称阵，用表示的特征值并且从大到小排列，记为对应的标准正交化特征向量，即则
(1) ,
(2) .
证明：
设。对任意的，存在向量，使。根据矩阵分解，有，且。于是有
又有标量，其中是矢量的第个元素，，可以推出
设，则有，且，定理(1)(2)得证。

推论
对任一阶对称方阵，总有。

推论
(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) .
证明：
(1) 由R-R定理，有。(2)(3)(4)均可以此得证。

Reference

1. 王松桂等，线性模型引论，科学出版社