Python气象数据处理与绘图(10)：SVD分析(奇异值分解)

犹豫了很久要不要讲SVD的python实现，今天还是写了吧，纠结的原因在于我对SVD也是新手理解，很多东西也是一知半解，怕误导大家。所以这篇文章也只是我个人的理解，不对之处还请大家评论区帮我纠正。

SVD

气象中所说的SVD方法是干吗用的？

首先还是先讲讲什么是SVD，在气象中的作用是什么，不想看我废话的直接拉下去看代码。
我们通常计算两个变量之间的相关关系时往往使用相关系数计算，然而相关系数只能用于两个序列(两个一维变量)或者一个序列和一个场(一个一维变量和一个三维变量)之间的相关关系，那如果我们想找到两个变量场之前的相关性，这时就要用到SVD了。
前边的文章有讲到EOF经验正交分解，核心思想是提取变量场的几个主要模态，并且计算各个模态的时间系数。那么SVD则可以理解为，对两个场分别提取模态，看两个变量的模态之间的协同变化关系。

SVD方法中几个特殊名词的概念？

SVD分析中有一些特殊名词，我用通俗的话来解释。比如说：
左场，右场，分别对应我们的要求的两个变量场，谁左谁右并不重要。
左场提取的模态称为左奇异向量，右场提取的模态为右奇异向量。需要注意的是，各个场的奇异向量均为相互正交的。
第一左奇异向量和第一右奇异向量及其各自的时间系数共同构成了SVD的第一模态，也可以叫第一对模态。
还有三个重要的名词要掌握。第一个是总体相关系数，指的是一对奇异向量对应的左右时间系数的相关系数，用来看左场第一模态和右场第一模态的相关性（总体相关系数是一个数）。
第二个名词是同性相关系数，表示原场和原场某一模态的时间序列的相关系数（为一个场），在一定程度上可以反应该变量的一个遥相关型。
第三个名词是异性相关系数，代表原场（比如左场）和对立场（比如右场）某个模态的时间序列的相关系数（为一个场），表是一个场对另一个场的影响关键区。
这段话说的十分绕口，等下结合例子再认真想想几个名词的含义应该会清楚一些。
那么就开始吧。

核心代码

首先是讲下核心代码，官方文档参考https://github.com/Yefee/xMCA

git clone https://github.com/Yefee/xMCA.git
cd xMCA
python setup.py install

这是官方提供的安装方式，能否用CONDA安装大家可以自己试一下。

from xMCA import xMCA
#a,b 为左场和右场
svd = xMCA(a,b)
svd.solver()
#lp,rp分别为左场和右场的模态，n=2，即为求取前两模态
lp, rp = svd.patterns(n=2)
#le,re为对应的时间系数序列
le, re = svd.expansionCoefs(n=2)
#方差贡献
frac = svd.covFracs(n=2)

以上代码即为求解SVD的核心代码，接下来我以一个例子来说明。

举个栗子

我准备的数据是1961-2016年夏季的中国平均降水和同期大西洋海温，分别来自中国CN0.51格点资料和英国哈德来中心的海温资料。以下是经过处理后的资料格式（直接用于求解SVD）：

输入数据维度

svd = xMCA(sst_summer, pre_summer)
svd.solver()
lp, rp = svd.patterns(n=2)
le, re = svd.expansionCoefs(n=2)
frac = svd.covFracs(n=2)
print(frac)
#
#array([0.4099809 , 0.16947176], dtype=float32)
#Coordinates:
#  * n        (n) int64 0 1
#Attributes:
#    long_name:  Fractions explained of the covariance matrix between left and...

得出第一模态方差贡献约41%，然后是画图部分，画图细节可参考先前几篇文章，详细讲过了画图部分。

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 5))
lp[0].plot(ax=ax1[0])
le[0].plot(ax=ax1[1])

rp[0].plot(ax=ax2[0])
re[0].plot(ax=ax2[1])

使用该代码即可快速出图，然而会发现子图之间排列密集，且没有地图地图，在确认计算结果无误后可根据需要调整图形美观度。下图是我修改后的结果

SVD第一模态

两条时间序列相关系数(就是前文提到的总体相关系数为0.67)说明这对空间分布型有密切的关系。我国夏季降水第一分布型在内蒙为正相关区，长江流域附近为负相关区，而大西洋中部海温为一致的负相关型分布，说明当大西洋海温偏低时，我国内蒙地区降水偏多，长江流域附近降水偏少。当然，分析时还要结合时间序列进行分析，分析方法同EOF。
我们前边还提到了同性相关和异性相关，十分方便的是，这个库的作者提供了直接计算两者的方法。并且是自带双尾t检验的，据说作者正在开发蒙特卡洛检验，先期待下。

#homogeneous 同性
lho, rho, lphot, rphot = svd.homogeneousPatterns(n=1, statistical_test=True)
#heterogeneous 异性
lhe, rhe, lphet, rphet = svd.heterogeneousPatterns(n=1, statistical_test=True)

这样求出来的8个变量均是二维场，

le, re, lphet, rphet = svd.heterogeneousPatterns(n=1, statistical_test=True)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 5))
lhe[0].plot(ax=ax1[0])
rhe[0].plot(ax=ax1[1])
lphet[0].where(lphet[0]<0.01).plot(ax=ax2[0])
rphet[0].where(rphet[0]<0.01).plot(ax=ax2[1])

以异性相关场为例，出图结果如下：

异性相关

上两幅图分别为两个时间序列回归对立的原场(左第一时间序列回归右原场，右第一时间序列回归左原场)，下两图分别为通过0.01显著性检验部分。也可通过我在绘图(4)所讲的打点方法将显著性部分通过打点或者阴影的方式叠加在原图上。绘图(4)文章链接：
https://www.jianshu.com/p/25d25fcbe6ab
图很丑，同时也说明用夏季降水和北大西洋海温做的SVD效果并不理想，关于SVD的分析还是要多参考文献中的描述，我只是以例子来说明SVD的PYTHON实现。如有错误请平均区指正，感谢。