对不变量在伽利略几何学中的作用的浅显讨论

摘要：本文通过对比和讨论了伽利略几何学的基本内容，给出了判断和的变换公式，并列举了两个几何不变量以说明几何学中运动的意义。

---

一．平面几何图形的几何性质

对图形的“”的定义有两种：（1）图形的一种性质是几何的当且仅当它不依赖于坐标系的选择。（2）一种几何性质就是所有合同图形所公有的一种性质，而一个运动就是把每个图形映成一个合同图形的平面变换。（此处的映射方式实际上就是讨论几何不变量时经常提到的等距变换。）对图形的“几何性质”的这两种定义显然和克莱因对几何学的定义——“几何学是研究图形的不变性质，即在所有运动中都不改变的性质的学科“——使用的是同一种思想，即使用将”“与”“区分开来，是近现代大多数学科所使用的普遍方式。克莱因对几何学的定义中使用的”运动“一词即为对图形的”几何性质“的第二个定义中给出的”运动“的意义。由于这两个定义是等价的【证1】，我们可以看出：”转换坐标系“这个变换是。而我们可以从下面的几个几何不变量中看出。

1. A(x,y)与A1(x1,,y1)间的距离

由平面右手坐标系转换公式【证2】和平面两点间距离公式：

式1.1

可得：

由此可见距离d是独立于坐标系的选择的，所以d是平面图形的“几何性质”。

2. 圆的半径

将平面右手坐标系转换公式中的原坐标系和新坐标系转换位置得到的公式（即用点的新坐标表示它的旧坐标的公式）和圆的直角坐标公式：

可得新坐标中圆的方程为：

容易看出：

而此不变量正是圆的半径。

将“运动”限制在某一个方式内即可定义不同种类的平面几何学，如定义为研究平面图形在所有平移中不变性质的几何学，定义为研究平面在绕原点旋转之下保持不变的性质的几何学，定义为研究平面图形在平移和中心收缩下保持不变性质的几何学。从这几类特殊几何学的定义中也可以看出几何不变量在划分种类过程中的重要作用。

二．运动物体的力学性质

从伽利略提出的相对性原理中我们很容易就能看出几何学中的对应着力学（运动学）中的，而几何学中使用的则对应着力学（运动学）中使用的。由此可见，几何学中的“运动”概念在力学（运动学）中范围有所缩小，力学中的“运动”必须是能够保持某一类不变量的变换，此类不变量由式1.1提供基于坐标系的标准规范。由于运动学需要引入时间参数，我们可以将点的运动过程考虑为沿直线以速度v运动，而此直线与新坐标系横轴的夹角为β，可以得到下式：

结合以上两式和式1.1可得：

式2.2

由于本段开始描述的几何学和运动学的两类对应关系的存在和近现代力学使用公式描述自然现象的习惯，力学中的不变量可以由式2.2定义。对比检测几何不变量的式1.1我们可以发现两对公式的主要区别在于运功学的公式考虑了过程，而几何学的公式没有考虑过程。这里就要提到惯性参考系在伽利略相对性原理（伽利略变换）中的特殊地位。对于和时间参数有关的坐标变换过程，只由式1.1确定的是一种可能为匀速变换也可能为较为复杂变换的过程，而由式2.2确定的是匀速变换过程，这就是几何学中的坐标系只能对应于惯性参考系的原因。（由于对时间的描述有所争议，这里就不再添加关于时间的变换。）

限于篇幅，这里不再列举运动学中的不变量。

三．不变量与几何学种类的关系

从以上论述中可以看出，从伽利略几何学的角度看力学中的某些观点可以发现两者极其深远的渊源，而对于不变量的思考则更加的引人遐思——由式1.1确定的标准可以得到一类不变量，由这类不变量就可以得到关于某种变换的一类几何学，而由式2.2确定的标准可以得到一类不变量，由这类不变量也可以得到关于某种变换的一类运动学（尽管由于公式的物理意义力学受限于自然规律，但是并不意味着确定不变量的标准不能变）。显而易见，有其他形式的公式存在着，这些公式或改变其变换方式，或增加（减少）参数，在不同的方面影响着不变量的确定，而这些不变量的改变不仅意味着新的几何种类的诞生，有时候也意味着新的自然学科的诞生。

---

【证1】平面坐标系转换公式确定平面上的一个转换，而相对于原坐标系的点的集合与相对于新坐标系的点的集合有相同的几何性质，转换公式给出的是同一点在不同坐标系中的坐标之间的关系，所以该公式确定的变换就是把一个图形变为与它合同的图形。

【证2】坐标系{x,y}的原点O与坐标系{x’,y’}的原点O’在x’方向上相距a，在y’方向上相距b，x轴方向与x’轴方向相差α角度，现建立坐标系{x1,y1}，该坐标系原点与O重合，坐标轴方向与{x’,y’}相同，设参考点为A，∠AOx=ϕ,∠AOx1=ϕ1。对于右手坐标系正向变换来说，可以得到下式：

由此可得：

又：

结合以上四式可得式1.1。

禁止一切形式的转载