第三章 灰度变换与空间滤波
引言
空间域指图像平面本身，它直接以图像中的像素操作为基础。这是相对于变换域中的图像处理而言的，变换域的图像处理首先把一幅图像变换到变换域，在变换域中进行处理，然后通经过反变换把处理结果返回到空间域。
空间域处理主要分为灰度变换与空间滤波两类，灰度变换在图像的单个像素上操作，主要以对比度和阈值处理为目的。空间滤波涉及改善性能的操作，如通过图像中每一个像素的领域处理来锐化图像。
3.1 背景知识
3.1.1 灰度变换和空间滤波基础
与频率域相反，空间域技术直接在图像像素上操作，例如，对于频率域来说，其操作在图像的傅里叶变换上执行，而不针对图像本身。
图3.1中给出的处理步骤：
1、领域原点从一个像素向另一个像素移动，对领域中的像素应用算子T，并在该位置产生输出。
2、这样，对于任意指定的位置（x,y）,输出图像g在这些坐标处的值就等于对f中以(x,y)为原点的领域应用算子T的结果。
3、对于领域原点位于图像的边界上时，部分领域将位于图像的外部。此时要么用T在做指定的计算时忽略外侧邻点，要么用0或其他指定的灰度值填充图像的边缘。
对于空间滤波，领域与预定义的操作一起被称为空间滤波器（也称为空间掩模，核、模板或窗口）。对于最小领域1×1，g仅取决于点（x,y）出的f值，而式（3.1-1）中T则成为一个形如下式的灰度变换函数：
对比度拉伸：若T(r)有如图3.2（a）所示的形式，对f中每一个像素施以变换产生相应的g的像素的效果将比原始图像有更高的对比度，即低于k的灰度级更暗，而高于k的灰度级更亮。在该技术中，低于k的r值被变换函数压缩在一个较窄的范围s内，接近黑色；而高于k的r值与此相反。在如图3.2(b)所示的极限情况下，T(r)产生了一幅两级（二值）图像，这种形式的映射称为阈值处理函数。
本章主要用灰度变换函数进行图像增强，第10章用于图像分割。其结果仅取决于一个点处的灰度的方法有时候称为点处理技术，另一种为领域处理技术。
3.1.2 关于本章中的例子
本章多是图像增强应用，即对图像进行加工，使其结果对特定的应用比原始图像更合适的一种处理。
3.2 一些基本的灰度变换函数
r和s分别代表处理前后的像素值，s=T(r)表达式的形式有关，其中T是把像素值r映射到像素值s的一种变换。
3.2.1 图像反转
为得到灰度级范围为[0，L-1]的一幅图像的反转图像，该反转图像由下式给出：
作用：可得到等效的照片底片，适用于增强嵌入在一幅图像的暗区域中的白色或灰色细节，特别是在黑色面积在尺寸上占主导地位时。例如分析乳房x射线照片中的一小块病变组织。
3.2.2 对数变换
c为常数，并假设r >=0。图3.3中对数曲线的形状表明，该变换将输入中范围较窄的低灰度值映射为输出中较宽范围的灰度值。相对的是输入灰度的高调整值。可以利用这种变换来扩展被压缩的高值图像中的暗像素。
作用：扩展图像中的暗像素的值，同时压缩更高灰度级的值。
特征：它压缩像素值变化较大的图像的动态范围。像素值有较大动态范围的一个典型应用说明是傅里叶频谱。
频谱特征：频谱值的范围从0~1e6，甚至跟高。尽管计算机能轻松处理这一范围的数字，但图像的显示系统通常不能如实地再现如此大范围的灰度值。因此，最终结果是许多重要的灰度细节在典型的傅里叶频谱的显示中丢失了。
图3.5（a）显示了值域为0~1.5e6的傅里叶频谱，当这些值在一个8bit系统中被线性地缩放显示时，最亮的像素将支配该显示，频谱中的低值（恰恰是重要的）将损失掉。图3.5（a）中相对较小的图像区域，鲜明地体现了这种支配性的效果，而作为黑色则观察不到。替代这种显示数值的方法 ，如果我们先对这些频谱值应用式（3.3-2）（此时c=1），那么得到的值的范围就变为0~6.2。图3.5（b）显示了线性地缩放这个新值域并在同一个8bit显示系统中显示频谱的结果。与a相比，图b可见细节的丰富程度是很显然的。
3.2.3 幂律（伽马）变换
c和为正常数，有时也可加入偏移量（即输出为0时的一个可度量输出），式子3.2-3也可写为：,但偏移量一般是显示标定问题，因而作为一个结果，通常在3.2-3中忽略不计。
与对数变换的情况类似，部分值的幂律曲线将较窄范围的暗色输入值映射为较宽范围的输出值，相反的对于高灰度级值时也成立。与产生的曲线有相反的效果。将高灰度值拉伸到亮度比较宽的输出范围，将低灰度值拉伸到宽范围的输出亮度。
用于图像获取、打印和显示的各种设备根据幂律来产响应。习惯上，幂律方程中的指数称为伽马，用于校正这些幂律响应现象的处理称为伽马校正。
显示器本身就会对待显示的图像压缩低灰度值的亮度。
例3.1 使用幂律变换进行对比度增强
图像整体偏暗，因而需要扩展灰度级。可使用指数为分数的幂律变换来完成。观察发现，当伽马值从0.6降至0.4时，会出现更多的细节，将伽马值进一步减小到0.3，会增强背景中的更多细节，但与开始具有轻微“苍白”外观（尤其是在背景中）的图像相比，对比度开始下降。时，对比度和可分辨细节的增强效果最好。=0.3是一个近似的极限值，低于这个值，这幅图像的对比度就会降低到不可接收的水平。
例3.2 幂律变换的另一个说明
要处理的图像现在有“冲淡”的外观，这表明灰度级的压缩是必需的（原图中有比较多的高灰度值，通过冲淡使得高灰度值有更宽的显示范围，将高灰度值变暗。）。令γ>1来完成。令γ=3.0,4.0,5.0时，图3.9（a）处理结果如b到d所示。其中3.0到4.0时，可得到合适的结果，且后者由于有较高的对比度而显示出更令人满意的效果。5.0的结果中，有些地方太暗，因而丢失了一些细节。
3.2.4 分段线性变换函数
优点：分段线性函数的形式可以是任意复杂的。
缺点：它的技术说明要求用户输入。
对比度拉伸
提高图像处理时的灰度级的动态范围，因此它可以跨越记录介质和显示装置的全部灰度范围。低对比变成高对比。
c图中,
变换函数把灰度级由其原范围线性地拉伸至整个范围[0，L-1]。
灰度级分层
突出图像中特定灰度范围的亮度通常是重要的，其应用包括增强特征，比如卫星图像中大量的水和X射线图像中的缺陷。这些可通过灰度级分层的处理实现。
例3.3 灰度级分层
比特层面分层
突出特定比特来为整个图像外观做出贡献。
一幅8比特图像可考虑由8个1bit平面组成，其中平面1包含图中所有像素的最低阶比特，而平明8包含图像中所有像素的最高阶比特。
3.3 直方图处理
直方图处理也属于灰度图像处理。灰度级为[0,L-1]的图像直方图为离散函数:
,其中是第k级灰度值，是图像中灰度为的像素个数。而实践中，经常用乘积MN表示的图像像素的总数除它的每个分量来归一化直方图，通常M和N是图像的行和列的维数。因此，归一化后的直方图由给出，其中k=0,1，...，L-1。简单来说，是灰度级在图像中出现的概率的一个估计。归一化直方图的所有分量之和应等于1。直观上，可以得到这样的结论：若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并且分布均匀，则该图像会有高对比度的外观并展示灰色调的较大变化。最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围较大的图像。
低对比度图像具有较窄的直方图，且集中在灰度级的中部。对于单色图像，这意味着暗淡，好像灰度被冲淡了一样。直观上：若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并且分布均匀，则该图像会有高对比度的外观并展示灰色调的较大变化。最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围较大的图像。
3.3.1 直方图均衡
直方图均衡作为自适应对比度增强工具非常强大
条件（a）中要求T（r）为单调递增函数是为了保证输出灰度值不少于相应的输入值，防止灰度反变换时产生人为缺陷，也是为了保证反映射是单值的。条件（b）保证输出前后的范围相同，条件（a'）保证从s到r的反映射是一对多的，防止出现二义性。
- 与连续形式不同，一般不能证明离散变换能产生均匀概率密度函数的离散值（均匀直方图）
- 直方图均衡化具有完全“自动化”的特点。
- 计算简单
第四幅图像均衡化在视觉上并未产生重要不用，这是因为这幅图像的直方图已扩展了全部灰度级范围。
3.3.2 直方图匹配（规定化）
直方图均衡能自动地确定变换函数，该函数寻求产生有均匀直方图的输出图像，可用于自动自强。对于某些应用，采用均匀直方图的基本增强并不是最好的办法。
直方图匹配：用于产生处理后有特殊直方图的方法。
例子：
令S为以随机变量，且有：
然后假设定义随机变量z，且有：
由这两个等式可得到，因此，z必须满足条件：
直方图规定化在大多数时候都是一个试凑过程，在解决实际问题过程中，可能会遇到此问题：如何定义“平均”直方图的外观，并把它作为规定的直方图。对于实际给定的增强任务都必须借助实际分析。
3.3.3 局部直方图处理
全局变换没有必要保证期望的局部增强，解决办法是以图像中每个像素的领域中的灰度分布为基础设计变换函数。
当全局直方图均衡用于平滑噪声区域时，情况通常如此，对比度稍微提高，噪声就会明显地增强。可以说，该方法并没有带来新的结构性细节。然而，局部直方图使均衡使用了一个7×7的邻域以显示在大的暗方形中的小方形。大小方形在灰度上接近，但小方形的尺寸太小，故对全局直方图均衡化的影响不大。
3.3.4 在图像增强中使用直方图统计
直接从直方图获得的统计参数可用于图像增强。
例3.12 使用直方图统计的局部增强
使用局部均值和方差进行图像处理的一个重要方面是它的灵活性，它们提供了简单而强有力的基于统计度量的增强技术，而统计度量与图像的外观有紧密的、可预测的关系。上述这个例子就是解决包含部分隐藏特征问题的理想方法，目的是增强暗色区域，但同时尽可能保留明亮区域不变。
判断一个点（x,y）是暗还是亮的方法是把局部平均灰度和图像的平均灰度进行对比，后者称之为全局灰度并用MG表示。后者的数量是通过令含整幅图像而得到的。
该问题考虑的两个因素：一个是暗区域，一个是对比度要低。
两个图的差最大也就只有15（结果如图c）
3.4 空间滤波基础
本节的例子是使用空间滤波来增强图像。“滤波”是指接受（通过）或拒绝一定的频率分量。例如，通过低频的滤波器称为低通滤波器，其最终结果是模糊（平滑）一幅图像。
某些领域处理工作是操作邻域的图像像素值以及相应的与邻域有相同维数的子图像的值。这些子图像可以被称为滤波器、掩模、核、模板或窗口，其中前三个词是更为普遍的术语。在滤波器子图像中的值是系数值，而不是像素值。
3.4.1 空间滤波机理
空间滤波器由(1)一个领域(典型地是一个较小的矩形)，（2）对该领域包围的图像像素执行的预定义操作组成。
空间滤波的机理如下：该处理就是在待处理图像中逐点地移动掩模。在每一点（x,y）处，滤波器在该点的响应通过事先定义的关系来计算。对于线性空间滤波其响应由滤波器系数与滤波掩模扫过区域的响应像素值的乘积之和给出。
非线性空间滤波处理也是基于邻域处理，且掩模滑过一幅图像的机理与感刚刚讨论的一样。然而，一般来说，滤波处理取决于所考虑的邻域像素点的值，而不能直接用前式中所描述的成绩求和中的系数。
3.4.2 空间相关与卷积
相关：滤波器模板移过图像并计算每个位置乘积之和的处理。
卷积的机理类似，但滤波器首先要旋转180°。
离散单位冲激：包含单个1而其余都是0函数。一个函数与离散单位冲击相关，在该冲激位置产生这个函数的一个翻转版本。
卷积的基本特性是某个函数与某个单位冲激卷积，得到一个在该冲激处的这个函数的拷贝。
对于大小为m×n的滤波器，我们在图像的顶部和底部至少填充m-1行0，在左侧和右侧填充n-1列0.
3.4.3 线性滤波的向量表示
3.4.4 空间滤波器模板的产生
生成一个大小为m×n的线性空间滤波器要求指定mn个模板系数，这些系数是根据该滤波器支持什么样的操作来选择的，记住，我们使用线性滤波所能做的所有事情是实现乘积求和操作。
3.5 平滑空间滤波器
平滑滤波器用于模糊处理和降低噪声。模糊处理经常用于预处理任务中，例如在（大）目标提取之前去除图像中的一些琐碎细节，以及桥接直线或曲线的缝隙。通过线性滤波和非线性滤波模糊处理，可以降低噪声。
3.5.1 平滑线性滤波器
其输出（响应）是包含在滤波器模板领域内的像素的简单平均值，这些滤波器有时也称为均值滤波器，也属于低通滤波器。
基本概念：它使用滤波器模板确定的邻域内像素的平均灰度值代替图像中每个像素的值，这种处理的结果降低了图像灰度的“尖锐”变化。由于典型的随机噪声由灰度级的急剧变化组成，因此，常见的平滑处理应用就是降低噪声。
问题：由于图像边缘也是由图像灰度尖锐变化带来的特性，所以均值滤波处理还是存在着不希望有的边缘模糊的负面效应。
其他应用：由于灰度级数量不足而引起的伪轮廓效应的平滑处理、去除图像中的不相关细节（“不相关指与滤波器模板尺寸相比较小的像素区域”）
第一种是直接平均，第二种是加权平均，这样，从权值上看， 一些像素比另一些更为重要。对于第二种掩模，处于眼膜中心位置的像素比其他任何像素的权值都要大。因此，在均值计算中给定的这一像素显得更为重要。而距离掩模中心较远的其他像素的重要性就次之了。
实际中，由于这些模板在一幅图像中任何一个位置所跨过的区域很小，上述两种模板进行平滑处理后很难看出图像之间的区别。
例3.13 使用各种尺寸模板的图像平滑
3.5.2 统计排序（非线性）滤波器
这种滤波器的响应以滤波器包围的图像区域中所包含的像素的排序（排队）为基础，然后使用统计排序结果决定的值代替中心像素的值。
中值滤波器：以像素领域内灰度的中值（中值计算中包括原像素值）代替该像素的值。它对于处理脉冲噪声非常有效，这种噪声也称椒盐噪声，因为这种噪声是以黑白点的形式叠加在图像上的。
最大值滤波器：搜寻在一幅图像中的最亮点时非常有用。
最小值滤波器：用于相反的目的。
3.6 锐化空间滤波器
锐化处理的主要目的是突出图像中的细节或者增强被模糊了的细节，这种模糊不是由于错误操作，就是特殊图像获取方法的固有影响。
图像模糊可通过在空间域用像素领域平均法实现，而锐化处理可由空间微分来实现这一结论。基本上，微分算子的响应强度与图像在用算子操作的这一点的突变程度成正比，这样，图像微分增强边缘和其他突变（如噪声），而削弱灰度变化缓慢的区域。
3.6.1 基础
本节以及下一节，主要讨论基于一阶和二阶微分的锐化滤波器。我们关注的是恒定灰度区域中，突变的开始点与结束点（台阶和斜坡突变）及沿着灰度斜坡处的微分性质。
注意，在图c中，在台阶过渡中，连接这两个值的直线穿过了两个极值中间的水平轴，这个过零点性质对于定位边缘非常有用。
数字图像的边缘在灰度上常常类似于斜坡过渡，这就导致图像的一阶微分产生较粗的边缘，因为沿着斜坡的微分非零。另一方面，二阶微分产生由零分开的一个像素宽的双边缘。可得结论：二阶微分子在增强细节方面比一阶微分好很多，这是一个适合锐化图像的理想特性。并且二阶微分在执行上要容易很多，因此主要注意二阶微分。
3.6.2 使用二阶微分进行图像锐化——拉普拉斯算子
本节主要考虑二维函数二阶微分中的实现及在图像锐化处理中的应用。该方法基本上是由定义一个二阶微分的离散公式，然后构造一个基于该公式的滤波器模板组成的，同时我们最关注的的是一种各向同性滤波器，它的响应与滤波器作用的图像的突变方向无关，即将原图像旋转后在滤波处理的结果与先对图像滤波再旋转的结果相同。
上面的公式可以用图左所示的掩模来实现，它们给出了以90°旋转的各向同性的结果。对角线方向也可以加入到离散拉普拉斯变换的定义中。
记住拉普拉斯核中心的数是正是负对于得到锐化后的图像很重要。
图3.38（b）显示了使用图3.37（b）中的拉普拉斯模板对该图像滤波后的结果，由于拉普拉斯图像中既有正值，又有负值，并且所在负值在显示时都修剪为0，所以图像大部分是黑色的。图3.37(c)使用的标定方法：对拉普拉斯图形的最小值加一个新的替代0的最小值，然后将结果标定到整个灰度范围[0,L-1]内，如（2.6-10）和（2.6-11）中解释的那样。该图像的支配特定是边缘和灰度的不连续处。这种浅灰色的外观是被适当标定的典型拉普拉斯图像。图3.38（d）使图像中的各灰度值得到复原，并且通过拉普拉斯增强了图像中灰度突变处的对比度，最终结果是使图像中的细节部分得到了增强，并良好地保留了图像的背景色调。 该图清晰度的重要改进，是因为使用了图3.37（b）的滤波器导致在对角线方向上产生了额外的区别（锐化）。拉普拉斯是锐化数字图像的一种工具。
问题：问什么中心为负的拉普拉斯掩模，原图减去该掩模就能得到增强的图像。
3.6.4 使用一阶微分对（非线性）图像锐化——梯度
在中心系数中使用权值2的原因是：强调中心的重要程度来实现某种平滑
3.7 混合空间增强法
通常，为了达到满意的结果，对给定的任务需要应用多种互补的图像增强技术。本节通过一个例子来说明怎样将本章中提到的多种图像增强方法结合起来，从而完成困难的图像增强任务。
增强的主要目的是得到一幅具有较高视觉细节内容的图像。
作业
3.1 3.3 3.10
3.8 使用模糊技术进行灰度变换和空间滤波
灰度变换和空间滤波的应用是图像处理中最常用的模糊技术的领域。
模糊集合在解决那些不以精确概念为基础来表述的问题时，为体现人类知识提供了一个框架。
3.8.1 引言
如果一个集合的成员在传统的二值布尔逻辑情况下，不是真就是假，用1表示真，用0表示假。令Z表示为所有人员的集合，并且我们想要定义集合Z的一个称为年轻人集合的子集A。为了定义该子集，我们需要定义一个隶属度函数，它可以对Z中每一个成员z赋一个1值或0值。、
我们需要的所谓年轻的意思是更弹性地在年轻和非年轻间的渐进过渡。3.44(b)显示了一种可能性，它的关键特性是无限制的评价，这样就可以在年轻和非年轻之间连续地过渡。这就使得它可能有“年轻”的程度。现在我们可以做一个声明：如一个人是年轻人（曲线上端平坦部分），相对年轻的人（斜坡开始处），50%年轻的人（斜坡的中间），不那么年轻的人（斜坡的末端），等等【曲线的斜率引入了什么是“年轻”的更加模糊的概念】。
这样，我们可以用逻辑模糊基础解释非限制评价隶属度函数，并且把使用它们生成的集合看成是模糊集合。
3.8.2 模糊集合论原理
3.8.3 模糊集合应用
3.8.4 使用模糊集合进行灰度变换
例3.19 使用基于规则的模糊集的对比度修改的图像增强的说明
3.8.5 使用模糊集合进行空间滤波
例3.20 使用基于规则的模糊集合的空间滤波增强边缘的说明
小结
本章介绍得内容是灰度变换和空间滤波中当期使用的有代表性的技术，本章中所包含的主题都是可以作为发展领域的基础的基本材料而选择的。下一章将再一次注意滤波，但是使用的是频率域的概念。