第五课、网络流

1. 问题1：网络流是模型而不是问题，这是什么样的模型？

1.1 模型

1.2 两个约束：

• 容量约束:每条链路上的流量不超过容量;
• 流约束：中间节点不存储流、从起点到达终点;除了起点和终点，流入多少，流出多少；

2. 最大流问题

2.1 问题描述

• 给定一个图，一个起点，一个终点，找到一条从起点到终点的路径，使得流的大小最大；

2.2 Ford-Fulkerson 算法

2.2.1 核心过程

• 找到一条路径：从起点出发，向前走，直到到达终点；
• 构建 residual graph：根据最新找到的最大流，更新 residual graph，构建反向路径；
• 重复上述过程，直到无法找到一条可行路径；

2.2.2 算法分析

• 为什么输出为最大流：一旦算法停止，节点被分为两个集合，也就是一个集合的割集，算法停止的时候就是最小割的解，而最大流的上界和最小割的下界碰到一起就是最优解；

3. 为什么这个算法是正确的，这是不是多项式算法？

问题的正确性证明：对偶问题 - “最小割集”

3.2关于复杂性的讨论；

• 什么条件下，循环会结束？答：节点被分为两个集合；
• 每次循环向 “终点” 逼近多少？答：至少前进一个整数；
• 终点有多远该如何理解？
• 算法是否为多项式取决于什么？

4. 症结在哪里？如何克服？

• 症结：每次增加的流的大小很小；
• 克服：每次选择一个足够的增量（不大于容量总和），循环找，直到找不到了；找不到了，则将增量除以2；

我的问题：为什么是最小割？
问题：最大流是一个P问题，而不是一个NPC问题；为什么？

问题6：正确性没有问题，为什么？如何能肯定效率改进了？

将外层循环，称为 scaling phase。
加入可以知道：

• 外循环次数：-scaling phase 个数的上限（即用到的不同数量的上限）；log2()；
• 内循环的次数：任一phase 中执行augment次数；

问题7. 为什么知道最优解多远最关键？

换句话说：网络中的最大流值不大于 v(f)+m
证明方法：最小割的最大值，不超过v(f)+m。

问题8：这仍然不是传统图意义上的多项式算法。试图实现 “那种” 意义上多项式算法的思想完全不同于augment的思想。你能理解关键的差异吗？

• Prim：过程中间结果始终满足 “可行解”的要求，但未必满足 “最小” 要求，在过程中不断 “修正” 目标值，一旦找到 “终点”，即最小可行解。
• Kruskal：过程中间结果不具备 “可行解”特征，却体现 “最小” 的要求，一旦构成可行解，即为最优解。