【数据结构与算法】填空练习题

习题一

1.1 数据结构按逻辑结构可分为两大类，分别是 线性结构 和 非线性结构.

1.2 数据的逻辑结构可分为四种（或四种基本结构），分别是 集合结构、线性结构、树状结构、图状结构.

1.3 线性结构反应结点间的逻辑关系是 一对一 的，非线性结构反应结点间的逻辑关系是 一对多或多对多.

1.4 一个算法的效率可分为 时间 效率和 空间 效率.

1.5 在树形结构中，树根结点没有 前驱 结点，其余每个结点的有且仅有 1 个前驱结点；叶子结点没有 后继 结点；其余每个结点的后续可以有 多 个结点

1.6 在图形结构中，每个结点的前驱结点数和后续结点数可以有 多 个结点

1.7 线性结构中元素之前存在 一对一 关系；树形结构中元素之间存在 一对多 关系；图形结构中元素之间存在 多对多 关系.

1.8 下面程序段的时间复杂度是 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^2)$.

for(i =0;i < n;i++)
	for(j = 0;j < n;j++)
		A[i][j] = 0;

1.9 下面程序段的时间复杂度是 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^{\frac{1}{2}})$.

i = s = 0;
while(s<n){i++;s += i;}

1.10 下面程序段的时间复杂度是 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^2)$.

s = 0;
for(i = 0;i < n;i++)
	for(j = 0;j < n;j++)
		s += B[i][j];

1.11 下面程序段的时间复杂度是 $\mathbf{O}(\mathbf{lo}{\mathbf{g}}_3\mathbf{n})$.

for(s = i = 1;i<= n;i = i*3) s+= i;

1.12 算法时间复杂度的分析通常有两种方法，即 事后统计 和 事前估计 的方法，通常我们对算法求时间复杂度时，采用后一种方法.

1.13 一个算法的时间复杂度为 $T(n)=3n^3+nlo{g}_{2}n+2n$，其渐进时间复杂度为 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^3)$.

1.14 抽象数据类型包括 数据及其关系 和 操作.

1.15 抽象数据类型应该包括 数据、关系、操作.

习题二

2.1 线性表是一种典型的 线性 结构.

2.2 顺序表中逻辑上相邻的元素的物理位置 相邻.

2.3 要从一个顺序表删除一个元素时，被删除的元素之后的所有元素均需 前移 一个位置，移动过程是从 前 向 后 依次移动每一个元素.

2.4 在线性表的顺序存储中，元素之间的逻辑关系是通过 物理存储位置 决定的；在线性表的链接存储中，元素之间的逻辑关系是通过 结点的指针域 决定的.

2.5 在双向链表中，每个结点含有两个指针域，一个指向 前驱 结点，另一个指向 后继 结点.

2.6 当对一个线性表经常进行存取操作，而很少进行插入和删除操作时，则采用 顺序 存储结构为宜. 相反，当经常进行的是插入和删除操作时，则采用 链式 存储结构为宜.

2.7 顺序表中逻辑上相邻的元素，物理位置 一定 相邻，单链表中逻辑上相邻的元素，物理位置 不一定 相邻.

2.8 根据线性表的链式存储结构中每一个结点所含指针的个数，链表可分为 单链表 和 双向链表；而根据指针的链接方式，链表又可分为 非循环链表 和 循环链表.

2.9 在单链表中设置头结点的作用是 使空表和非空表统一、算法处理一致.

2.10 对于一个具有 $n$ 个结点的单链表，在已知的结点 $p$ 后插入一个新结点的时间复杂度为 $\mathbf{O}(1)$，在给定值为 $x$ 的结点前插入一个新结点的时间复杂度为 $\mathbf{O}(\mathbf{n})$.

2.11 若链表中附设头结点，则不管线性表是否为空表，头指针均 不为空，否则表示空表的链表的头指针为 空.

习题三

3.1 线性表、栈和队列都是 线性 结构，可以在线性表的 任何 位置插入和删除元素；对于栈只能在 栈顶 位置插入和删除元素；对于队列只能在 队尾 位置插入元素和在 队首 位置删除元素.

3.2 对于一个栈作进栈运算时，应先判别栈是否为 栈满，作退栈运算时，应先判别栈是否为 栈空，当栈中元素个数为 $m$ 时，作进栈运算时发生上溢，则说明栈的可用最大容量为 $\mathbf{m}$. 为了增加内存空间的利用率和减少发生上溢的可能性，由两个栈共享一片连续的内存空间时，应将两栈的 栈底 分别设在这片内存空间的两端，这样只有当 两个栈的栈顶指针相等 时才产生上溢.

3.3 设有一空栈，现有输入序列 $1,2,3,4,5$，经过 push,push,pop,push,pop,push,push 后，输出序列是 2、3.

3.4 无论对于顺序存储还是链式存储的栈和队列来说，进行插入或删除运算的时间复杂度均相同为 $\mathbf{O}(1)$.

习题四

4.1 两个字符串相等的充要条件为 两个串的长度相等 和 对应位置的字符相等.

4.2 串是指 含 n 个字符的有限序列($n\ge 0$).

4.3 空串是指 不含任何字符的串，空串是指 仅含空格字符 的字符串.

4.4 一维数组的逻辑结构是 线性结构，存储结构是 顺序结构；对于二维或多维数组，分为 以行序为主序 和 以列序为主序 两种不同的存储方式.

4.5 对于一个二维数组 A[m][n]，若按行序为主序存储，则任一元素 A[i][j] 相当于 A[0][0] 的地址为 $\mathbf{i}\times \mathbf{n}+\mathbf{j}$ 个元素位置.

4.6 一个广义表为 (a, (a, b), d, e, ((i, j), k))，则该广义表的长度为 5，深度为 3.

4.7 一个稀疏矩阵如下，则对应的三元组线性表为 ((0, 2, 2), (1, 0, 3), (2, 2, -1), (2, 3, 5)).
[ 0 0 2 0 3 0 0 0 0 0 − 1 5 ] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 5 \\ \end{bmatrix} ​030​000​20−1​005​ ​

4.8 一个 $n\times n$ 的对称矩阵，如果以行为主序或以列为主序只存其下三角，则其容量为 n(n+1)/2.

4.9 已知广义表 A = ((a, b, c), (d, e, f))，则运算 tail(head(tail(A))) = (e, f).

4.10 设有一个 10 阶的对称矩阵 A，采用压缩存储方式以行序为主序存储其下三角，$a_{00}$ 为第一个元素，其存储地址为 0，每个元素占有 1 个存储地址空间，则 $a_{85}$ 的地址为 41.

4.11 已知广义表 Ls = (a, (b, c, d), e)，运用 head 和 tail 函数取出 Ls 中的原子 b 的运算是 head(head(tail(Ls))).

习题五

5.1 假定一棵树的广义表表示为 A(B(E), C(F(H, I, J), G), D)，则该树的度为 3，树的深度为 4，终端结点的个数为 6，单分支结点的个数为 1，双分支结点的个数为 1，三分支结点的个数为 2，C 结点的双亲结点为 A，其孩子结点为 F 和 结点 G.

5.2 对于一个有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 理想平衡 二叉树时具有最小高度：$\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$，当它为一棵单支树具有 最大 高度：n.

5.3 由带权为 3，9，6，2，5 的 5 个叶子结点构成一棵哈夫曼树，则带权路径长度为 55.

5.4 在一棵二叉排序树上按 中序 遍历得到的结点序列是一个有序序列.

5.5 对于一棵具有 n 个结点的二叉树，当进行二叉链表存储时，指针域的总数为 2n 个，其中 n-1 个用于链接孩子结点，n+1个空闲着

5.6 在一棵二叉树中，度为 0 的结点个数为 $n_0$，度为 2 的结点个数为 $n_2$，则 $n_0=$${\mathbf{n}}_2+1$

5.7 一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为 $2^{\mathbf{k}}-1$，一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为 $2^{\mathbf{k}}-1$，最大值为 $2^{\mathbf{k}}-1$.

5.8 由三个结点构成的二叉树，共有 5 种不同的形态.

5.9 设高度为 h 的二叉树中只有度为 0 和度为 2 的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至少为 2h-1.

5.10 一棵含有 n 个结点的 k 叉树，单支树 形态达到最大深度，理想平衡 k 叉树 形态达到最小深度。对于一棵具有 n 个结点的完全二叉树，若一个结点的编号为 i (1 ≤ i ≤ n)，则它的左孩子结点的编号为 2i，右孩子结点的编号为 2i+1，双亲结点的编号为 $\lfloor i/2\rfloor$.

5.11 哈夫曼树是指 带权路径长度最小 的二叉树.

5.12 空树是指 结点数为0.

5.13 二叉树的链式存储结构有 二叉链表 和 三叉链表 两种.

5.14 三叉链表比二叉链表多一个指向 双亲 的指针域.

5.15 线索是指 指向结点前驱或结点后继信息的指针.

5.16 线索链表中的 rtag 域值为 1 时，表示该结点无右孩子，此时 rightChild 域为指向该结点后继线索的指针.

5.17 本节中我们学习的树的存储结构有 广义表表示法、父指针表示法、子女链表表示法、子女-兄弟表示法.

习题六

6.1 在一个图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的 2 倍.

6.2 在一个具有 n 个顶点的无向完全图中，包含有 n(n-1)/2 条边，在一个具有 n 个顶点的有向完全图中，包含有 n(n-1) 条边.

6.3 假定一个有向图的顶点集合为 {a, b, c, d, e, f}，边集为 {, , , ,,}，则出度为 0 的顶点个数为 2，入度为 1 的顶点个数为 4.

6.4 在一个具有 n 个顶点的无向图中，要连通所有顶点则至少需要 n-1 条边.

6.5 表示图的三种存储结构为 邻接矩阵、邻接表、临界多重表.

6.6 在一个连通图中存在着 1 个连通分量.

6.7 图中的一条路径长度为 k，该路径所含的顶点数为 k+1.

6.8 若一个图的顶点集为{a, b, c, d, e, f}，边集为{(a, b), (a, c), (b, c), (d, e)}，则该图含有 3 个连通分量.

6.9 对于一个具有 n 个顶点的图，若采用邻接矩阵表示，则矩阵大小至少为 $\mathbf{n}\times \mathbf{n}$

6.10 对于具有 n 个顶点和 e 条边的无向图，在它们对应的邻接表中，所含顶点个数和边结点的个数分别为 n 和 2e.

6.11 对于具有 n 个顶点和 e 条边的有向图，在它们对应的邻接表中，所含顶点个数和边结点的个数分别为 n 和 e.

6.12 在有向图的邻接表和逆邻接表表示中，每个顶点邻接表分别链接着该顶点的所有 出边 和 入边 结点.

6.13 对于一个具有 n 个顶点和 e 条边的无向图，当分别采用邻接矩阵和邻接表表示时，求任一顶点度数的时间复杂度分别为 $\mathbf{O}(\mathbf{n})$ 和 $\mathbf{O}(e/n)$.

6.14 假定一个有向图具有 n 个顶点和 e 条边，则采用邻接矩阵和邻接表表示时，其相应的空间复杂度分别为 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^2)$ 和 $\mathbf{O}(\mathbf{n}+\mathbf{e})$.

6.15 图的 深度 优先搜索遍历算法是一种递归算法，图的 广度 优先搜索遍历算法需要使用队列

6.16 对于一个具有 n 个顶点和 e 条边的连通图，其生成树中的顶点数和边数分别为 n 和 n-1.

6.17 若一个连通图中每个边上的权值均不同，则得到的最小生成树是 唯一（唯一/不唯一）的。根据图的逻辑结构进行某种次序的遍历，得到的顶点序列是 不唯一（唯一/不唯一）的.

6.18 假定一个有向图的边集为{, , , , , }，对该图进行拓扑排序得到的顶点序列为 aebdcf.

6.19 某无向图中顶点数和边数分别为 n 和 e，所有顶点的度数之和为 d，则 e = d/2.

6.20 某有向图中顶点数和边数分别为 n 和 e，所有顶点的入度数之和为 d，则 e = d.

习题七

7.1 以顺序查找方法从长度为 $n$ 的顺序表或单链表中查找一个元素时，平均查找长度为 (n+1)/2，时间复杂度为 $\mathbf{O}(\mathbf{n})$.

7.2 对长度为 $n$ 的查找表进行查找时，假定查找第 $i$ 个元素的概率为 $p_i$，查找长度（即在查找过程中依次同有关元素比较的总次数）为 $c_1$，则在查找成功情况下的平均查找长度的计算公式为 $\sum {\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$

7.3 假定一个顺序表的长度为 40，并假定查找（带监视哨）每个元素的概率都相同，则在查找成功情况下的平均查找长度为 20.5，在查找不成功情况下的平均查找长度 41.

7.4 以折半查找方法从长度为 $n$ 的有序表中查找一个元素时，平均查找长度约等于 $\mathbf{lo}{\mathbf{g}}_2(\mathbf{n}+1)$，时间复杂度为 $\mathbf{O}(\mathbf{lo}{\mathbf{g}}_2\mathbf{n})$.

7.5 以折半查找方法在一个查找表上进行查找时，该查找表必须组织成 顺序 存储的 有序 表.

7.6 从有序表 $(12,18,30,43,56,78,82)$ 中分别折半查找 43 和 56 时，其比较次数为 1 和 3.

7.7 假定对长度 $n=50$ 的有序表进行折半查找，则对应的判定树高度为 6，最后一层结点数为 19.

7.8 假定在索引查找中，查找表长度为 n，每个子表的长度相等，设为 s，则进行成功查找的平均查找长度为 (n/s+s)/2+1.

7.9 在索引查找中，假定查找表（即主表）的长度为 96，被等分为 8 个子表，则进行索引查找的平均查找长度为 11.

7.10 在一颗二叉排序树中，每个分支结点的左子树所有结点的值一定 小于 该结点的值，右子树上所有结点的值一定 大于 该结点的值.

7.11 对一颗二叉排序树进行中序遍历时，得到的结点序列是一个 递增有序序列.

7.12 从一颗二叉排序树中查找一个元素时，若元素的值等于根节点的值，则表明 查找成功，若元素的值小于根节点的值，则继续向 左子树 查找，若元素的值大于根节点的值，则继续向 右子树 查找.

7.13 向一颗二叉排序树中插入一个元素时，若元素的值小于根节点的值，则接着向根节点的 左子树 插入，若元素的值大于根节点的值，则接着向根节点的 右子树 插入.

7.14 根据 $n$ 个元素建立一颗二叉排序树的时间复杂度大致为 $\mathbf{O}(\mathbf{nlo}{\mathbf{g}}_2\mathbf{n})$.

7.15 在一棵平衡二叉树中，每个结点的左子树高度与右子树高度之差的绝对值不超过 1.

7.16 假定对线性表 (38, 25, 74, 52, 48) 进行哈希存储，采用 H(K) = K % 7 作为哈希函数，采用线性探测法处理冲突，则在建立哈希表的过程中，将会碰 5 次存储冲突.

7.17 假定对线性表(38, 25, 74, 52, 48)进行哈希存储，采用 H(K) = K % 7 作为哈希函数，采用线性探测法处理冲突，则查找成功的平均长度为 2，查找不成功的平均长度为 22/7.

7.18 在线性表的哈希存储中，装填因子 $\alpha$ 又称为装填系数，若用 m 表示哈希表的长度，n 表示线性表中的元素的个数，则 $\alpha$ 等于 n/m.

7.19 对线性表 (18, 25, 63, 50, 42, 32, 90) 进行哈希存储时，若选用 H(K) = K % 9 作为哈希函数，则哈希地址为 0 的元素有 3 个，为 5 的元素有 2 个

7.20 为了能有效地应用哈希查找技术，必须解决的两个问题是 选择好的哈希函数 和 拟定解决冲突的方案.

习题八

8.1 每次从无序子表中取出一个元素，把它插入到有序子表中的适当位置，此排序方法叫做 直接插入 排序；每次从无序子表中挑选出一个最小或最大元素，把它交换到有序表的一端，此种排序方法叫做 选择 排序.

8.2 每次直接或通过支点元素间接比较两个元素，若出现逆序排列时就交换它们的位置，此种排序方法叫做 快速 排序；每次使两个相邻的有序表合并成一个有序表的排序方法叫做 归并 排序.

8.3 在简单选择排序中，记录比较次数的时间复杂度为 $\mathbf{O}({\mathbf{n}}^2)$，记录移动次数的时间复杂度为 $\mathbf{O}(\mathbf{n})$.

8.4 对 $n$ 个记录进行冒泡排序时，最少的比较次数为 $n-1$，最少的趟数为 1.

8.5 快速排序在平均情况下的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$，在最坏情况下的时间复杂度为 $O(n^2)$.

8.6 若对一组记录 $(46,79,56,38,40,80)$ 进行直接插入排序，当把第 8 个记录插入到前面已排序的有序表时，为寻找插入位置需比较 4 次.

8.7 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，则利用堆排序法建立的初始小根堆为 (38, 40 56, 79, 46, 84).

8.8 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，在冒泡排序的过程中进行第一趟排序（从左往右比较）后的结果为 (46, 56, 38, 40, 79, 84).

8.9 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，在冒泡排序的过程中进行第一趟排序（从右往左比较）时，元素 79 将最终下沉到其后第 1 个元素的位置（从 0 开始）

8.10 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其进行快速排序的过程中，共需要 3或2 趟排序

8.11 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其进行快速排序的第一次划分后，右区间内元素的个数为 4，左区间元素的个数为 3.

8.12 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其进行快速排序的第一次划分后的结果为 [40, 38] 46 [79, 56, 80]

8.13 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其进行归并排序的过程中，第二趟归并后的子表个数为 3 个.

8.14 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其进行归并排序的过程中，第三趟归并后的第 2 个子表为 [28, 46].

8.15 假定一组记录为 $(46,79,56,38,40,80)$，对其及逆行归并排序的过程中，共需要 4 趟完成.

8.16 在时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$ 的所有排序方法中，折半插入 和 归并 排序方法是稳定的.

8.17 在时间复杂度为 $O(n^2)$ 的所有排序方法中， 排序方法是最不稳定的 直接选择.

8.18 在所有排序方法中，快速 排序方法采用的是二分法的思想.

8.19 在所有排序方法中，堆排序 方法使数据的组织采用的是完全二叉树的思想.

8.20 归并排序 在所有排序方法中， 方法采用的是两两有序表合并的思想.

8.21 冒泡 排序方法使键值大的记录逐渐下沉，使键值小的记录逐渐上浮.

8.22 直接插入 排序方法每次使无序表中的第一个记录插入到有序表中的合适位置.

8.23 直接选择 排序方法每次从无序表中顺序找出一个最小值，然后与无序表中的第一个元素交换.