CF1301C Ayoub‘s function (容斥+思维)

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题意：

给出长度为n的一个01串，其中有m个1，让我们找出最大点对[l_i,r_i]符合其中至少有一个${}^{\prime }{1}^{\prime }$.求最大能有多少对。

分析：

首先我们直接找不好找，我们可以通过容斥来换个思路想，我们定义至少有一个1位f(x),全是0为g(x)
那么我们要的是$f(x)=sum-g(x)$,$sum=\frac{n\ast (n+1)}{2}$

我们要f(x)最大，那么就是让g(x)最小。

g(x)如何最小那？
是全在一块最小还是分散着好那，按照惯例肯定是分散着好，但是我们严谨点，试着证明一下：

首先我们举个例子总数0为$2x$

第一种是$a=b=x$平均分成两堆

$$g(x)=\frac{x\ast (x+1)}{2}+\frac{x\ast (x+1)}{2}=x\ast (x+1)$$
然后我们放一堆：
$$g(x)=\frac{2x\ast (2x+1)}{2}=2\ast (2x+1)$$

我们在不平均分成两堆：a=x+r,b=x-r
$$g(x)=\frac{(x+r)\ast (x+r+1)}{2}+\frac{(x-r)\ast (x-r+1)}{2}=x^2+x+r^2$$
可以看出第一种平均分的更小。
一共最多有m+1个空，我们平均分就好了，剩下的再分别放进m+1里就好了。

void solve(){    
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll ans=(n+1)*n/2;
    ll x=(n-m)/(m+1);
    ll y=(n-m)%(m+1);
    ans-=y*(x+1)*(x+2)/2;
    ans-=(m+1-y)*(x+1)*(x)/2;
    cout<<ans<<endl;
}