1630.等差子数组

1630. 等差子数组

难度中等

如果一个数列由至少两个元素组成，且每两个连续元素之间的差值都相同，那么这个序列就是 等差数列 。更正式地，数列 s 是等差数列，只需要满足：对于每个有效的 i ， s[i+1] - s[i] == s[1] - s[0] 都成立。

例如，下面这些都是 等差数列 ：

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

下面的数列 不是等差数列 ：

1, 1, 2, 5, 7

给你一个由 n 个整数组成的数组 nums，和两个由 m 个整数组成的数组 l 和 r，后两个数组表示 m 组范围查询，其中第 i 个查询对应范围 [l[i], r[i]] 。所有数组的下标都是 从 0 开始 的。

返回 boolean 元素构成的答案列表 answer 。如果子数组 nums[l[i]], nums[l[i]+1], ... , nums[r[i]] 可以 重新排列 形成 等差数列 ，answer[i] 的值就是 true；否则answer[i] 的值就是 false 。

示例 1：

输入：nums = [4,6,5,9,3,7], l = [0,0,2], r = [2,3,5]
输出：[true,false,true]
解释：
第 0 个查询，对应子数组 [4,6,5] 。可以重新排列为等差数列 [6,5,4] 。
第 1 个查询，对应子数组 [4,6,5,9] 。无法重新排列形成等差数列。
第 2 个查询，对应子数组 [5,9,3,7] 。可以重新排列为等差数列 [3,5,7,9] 。

示例 2：

输入：nums = [-12,-9,-3,-12,-6,15,20,-25,-20,-15,-10], l = [0,1,6,4,8,7], r = [4,4,9,7,9,10]
输出：[false,true,false,false,true,true]

提示：

• n == nums.length
• m == l.length
• m == r.length
• 2 <= n <= 500
• 1 <= m <= 500
• 0 <= l[i] < r[i] < n
• -10^5 <= nums[i] <= 10^5

思路：这道题很容易想到的思路就是我们对于每一个查询，对[L,R]区间内的数进行排序，然后判断每一对相邻的数的差值是不是都是一样的。这样总的复杂度为O(m*nlgn)。然而每次拷贝数据的代价是很高昂的，一个容易想到的优化思路是，如果存在两个查询之间存在包含关系或重叠部分，是可以为下一次的排序进行加速：

        包含关系：如两个查询[1,10]，[3,7]，我们先查询[3,7]，并对[3,7]之间的数进行排序，判断差分。到下一次查询[1,10]时，我们可以通过二分查找的方式将[1,2]，[8,10]这两个区间上的数以有序的方式插进[3,7]。

        重叠部分：如两个查询[3,7]，[5,9]，我们可以拆成[3,5]，[5,9]，可知这两部分都满足有序，此时可以用归并。

然而这样做编码复杂度会非常高，同时也无法加速无重叠 、无包含的查询。

我们从等差数列本身的性质入手，等差数列满足每一个相邻数对的查都是公差d。设有一个长度为n的等差数列，最大值为max_num，最小值为min_num，那么公差可以按照如下方式求解：

当我们有了公差之后，我们可以反推出这个数列内所有的数

因此本题的思路可以转换为，对每一个查询[L,R]，算出公差d，并判断区间内每一个数是否满足下式且只出现一次(值得注意的是，如果公差为d即最大值等于最小值则一定是等差数列)。

class Solution {
public:
    vector checkArithmeticSubarrays(vector& nums, vector& l, vector& r) {
        int n = nums.size(), min_num[n + 5][n + 5], max_num[n + 5][n + 5], L, R, t, idx, len, d, tempIdx, diff, min_value,  max_value;
        const int maxn = 2e5 +7;
        bool existItemIdx[maxn];
        vector isArithmetic;
        for(len = 1; len <= n; ++ len){
            for(L = 0; L + len <= n; ++ L){
                if(len == 1){
                    min_num[L][L] = max_num[L][L] = nums[L];
                }else{
                    R = L + len - 1;
                    t = L + (len >> 1) -1;
                    min_num[L][R] = min(min_num[L][t], min_num[t + 1][R]);
                    max_num[L][R] = max(max_num[L][t], max_num[t + 1][R]);
                }
            }
        }
        for(idx = 0; idx < l.size(); ++ idx){
            L = l[idx];
            R = r[idx];
            min_value = min_num[L][R];
            max_value = max_num[L][R];
            if(R - L <= 1 || max_value == min_value){//长度小于等于2或者最大最小值相等即公差为0
                isArithmetic.push_back(true);
            }else{
                d = (max_value - min_value) / (R - L);
                if(d * (R - L) == max_value - min_value){
                    memset(existItemIdx, false, sizeof(existItemIdx));
                    for(tempIdx = L; tempIdx <= R; ++ tempIdx){\
                        diff = nums[tempIdx] - min_value;
                        if(diff % d != 0 || existItemIdx[diff / d]){
                            isArithmetic.push_back(false);
                            break;
                        }else{
                            existItemIdx[diff / d] = true;
                        }
                        if(tempIdx == R){
                            isArithmetic.push_back(true);
                        }
                    }
                }else{
                    isArithmetic.push_back(false);
                }
            }
        }
        return isArithmetic;
    }
};

上述使用区间dp来求取区间最大、最小值有点大材小用了，也可以用对每一个查询遍历的方式。

class Solution {
public:
    vector checkArithmeticSubarrays(vector& nums, vector& l, vector& r) {
        int n = nums.size(), L, R, t, idx, len, d, tempIdx, diff, min_value,  max_value;
        const int maxn = 2e5 +7;
        bool existItemIdx[maxn];
        vector isArithmetic;

        for(idx = 0; idx < l.size(); ++ idx){
            L = l[idx];
            R = r[idx];

            min_value = max_value = nums[L];
            for(tempIdx = L + 1; tempIdx <= R; ++ tempIdx){
                min_value = min(min_value, nums[tempIdx]);
                max_value = max(max_value, nums[tempIdx]);
            }

            if(R - L <= 1 || max_value == min_value){//长度小于等于2或者最大最小值相等即公差为0
                isArithmetic.push_back(true);
            }else{
                d = (max_value - min_value) / (R - L);
                if(d * (R - L) == max_value - min_value){
                    memset(existItemIdx, false, sizeof(existItemIdx));
                    for(tempIdx = L; tempIdx <= R; ++ tempIdx){\
                        diff = nums[tempIdx] - min_value;
                        if(diff % d != 0 || existItemIdx[diff / d]){
                            isArithmetic.push_back(false);
                            break;
                        }else{
                            existItemIdx[diff / d] = true;
                        }
                        if(tempIdx == R){
                            isArithmetic.push_back(true);
                        }
                    }
                }else{
                    isArithmetic.push_back(false);
                }
            }
        }
        return isArithmetic;
    }
};