十八世纪的解析几何和微分几何（三）

微分几何的开端

随着解析几何的发展，出现了微分几何，二者的发展常常交织在一起。尽管18世纪后期对代数曲线理论的兴趣衰退了，但微分几何对几何的重要性增加了。微分几何研究曲线、曲面逐点变化的性质，需要使用微积分的技巧，这一术语由Luigi Bianchi(1856-1928)在1894年提出。

微分几何很大程度上是微积分问题的自然产物，曲线的法线、拐点和曲率的研究实际上是平面曲线的微分几何。17世纪末到18世纪初出现了许多新问题，如关于平面和空间曲线的曲率、曲线族的包络、曲面上的测地线、光线及光的波阵面、沿曲线以及曲面施加约束的运动、绘制地图等都需要应用微积分。

18世纪甚至19世纪前期的微分几何学家将几何论证与分析论证结合使用，他们的分析依然是粗糙的，自变量的无穷小或微分被认为是一个极小的常数，没有区分应变量的增量和微分之间的差别。当他们考虑高阶微分时，认为是小量且可以自由地略掉。他们把曲线上距离充分小的两点看作相邻点，仿佛两点之间没有其他点似的，将曲线切线定义为曲线上一点及其相邻点的连线。

平面曲线

人们用微积分研究曲线，首先研究了平面曲线。惠更斯引进了几个概念（这些概念后来用微积分处理了），1673年他引入了平面曲线的渐伸线，图中自由端的轨迹C',C''是渐伸线，各渐伸线不相交，曲线切线族的每一个正交轨道是曲线的渐伸线。

作与C相切的直线，绕P1旋转，直线上每一点的轨迹描出一条渐伸线

接着他讨论了平面曲线的渐屈线(也叫渐开线)。渐屈线与渐伸线是一对相对概念，上图中曲线C'、C''是曲线C的渐伸线，曲线C则是C',C''的渐伸线，惠更斯证明摆线的渐屈线还是摆线，1764年欧拉用解析法给出证明。摆线的重要意义在于：沿着摆线摆动的摆锤，无论振幅大小，作一次完全摆动所用的时间是完全相同的，因此摆线又叫等时曲线。

牛顿在《解析几何》中也引入了曲率中心作为P点法线及其邻点法线交点的极限点，他定义了密切圆（密切是莱布尼茨1686年引入的术语），给出了曲率公式并计算了一些曲线的曲率。这些工作惠更斯都搞过了，可能牛顿想证明能用解析法得到这些结果。

1691年约翰伯努利开始研究平面曲线，得到了关于包络的一些新进展，1682年Tschirnhausen（网上翻译称钦豪申）引入光线族的焦散（即光线族的包络）。1692年伯努利得到某些焦散的方程，例如当一束平行光线投射到球面镜时，从球面镜上反射出来的光线的焦散方程。然后他解决了Fatio de Duillier的提问（百度真的是垃圾得令人无语，搜这个名字出来一堆表广告，肉饼不要老是搞小三了，偶尔也干干活吧！），一门大炮以相同初速度但不同仰角发射炮弹，求炮弹路径（抛物线）的包络，伯努利证明该包络是一条以炮位为焦点的抛物线。托里拆利曾经在几何上证明该结论。

在1692和1694年，莱布尼茨给出了求一族包络的普遍方法，洛必达编写的教科书（就是把约翰伯努利发明的洛必达法则编写进去的那本书）帮助传播了平面曲线理论。