写在前面
这次周赛的第四题还是比较有意思的，尤其是时间复杂度方面，给的数据范围在10^5，需要O(NlogN)的算法，就很容易将思想局限在二分、排序、堆、并查集，这些方法之中，而这道题复杂度的计算用到级数的概念，表面接近O(N ^ 2)的算法，实际复杂度为O(NlogN)，还是十分值得思考的一道题目。
题目
核心思路
这道题目使用暴力的解法显然是不行的，单单是枚举所有子序列都需要指数级别的时间复杂度，而题目需要的算法为O(NlogN)，显然会超时。不过注意到给定数组中元素的大小范围限定在[1, 200000]，给了这一限制，显然是一个突破口。
所以不如直接枚举 元素的值i ∈ [1, 200000]，为了得到结果，就需要判断当前元素i是否能作为某一个子序列的最大公约数。如果可以的话，这个子序列中的元素必然都能被i整除，例如：i, 2i, 4i, 5i, 9i，那么就可以枚举i, 2i, 3i, 4i, ...并判断其是否在数组中，然后将其加入到一个可能的子序列里，并求得这个子序列的最大公约数curGcd，如果curGcd == i的话，就代表枚举到的i是满足的，将答案加一即可。
这里需要承认的一个事实是：如果存在一个子序列a, b, c的最大公约数为i，那么新加入一个元素x，整个序列a, b, c, x的最大公约数应该为gcd(i, x)
有了这个事实，在求子序列的最大公约数时就可以每添加一个元素求解一次curGcd，然后判断是否为目标值i即可，不需要维护这个枚举的子序列了。
完整代码
class Solution {
public int gcd(int a, int b){
return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}
public int countDifferentSubsequenceGCDs(int[] nums) {
boolean[] mark = new boolean[200001];
int maxNum = 0;
for(int num : nums) mark[num] = true;
int res = 0;
for(int i = 1; i < 200001; i++){
int curGcd = 0;
for(int j = i; j < 200001; j += i){
if(mark[j]){
if(curGcd == 0) curGcd = j;
else curGcd = gcd(curGcd, j);
if(curGcd == i){
res++;
break;
}
}
}
}
return res;
}
}
代码也不难，就是根据上边的思路维护一个结果res和当前子序列的最大公约数curGcd即可。比较难理解的就是算法的时间复杂度的计算了，看似时间为O(N ^ 2)，不过实际的复杂度应该为O(NlogN)，这里的N为数组元素的最大值，代码为了简洁取了数据范围峰值，具体计算方法如下：
通过上述公式计算，总的时间复杂度应该为O(m * logm)，m代表数组元素的最大值，是满足题目要求的。