机器人建模中移动关节如何建立坐标系_机器人刚体运动

概述

这里讨论的机器人是由一个个刚体通过关节连接（约束）组成

为了控制机器人根据要求完成指定的工作任务，需要确定机器人和外部环境的相对位置关系，尤其是机器人的末端位置和姿态。研究机器人运动学时，大多采用矩阵来描述，将一个坐标系固连在机器人末端执行器上，用这个工具坐标系相对于参考坐标系的位姿来描述机器人末端的位姿

机器人运动学主要研究两类问题：正运动学和逆运动学

（1）如果一个机器人的构型已经确定，其组成杆件的几何信息和关节信息是已知的，求解机器人末端执行器相对于参考坐标系的位姿，就是正运动学问题

（2）如果一个机器人各杆件的几何信息和末端执行器相对于参考坐标系的期望位姿已知，求解机器人的各关节信息，就是逆运动学问题

机器人的正逆运动学双向关系图

刚体位姿描述

刚体在空间中有6个自由度，通过描述刚体上参考点的位置和姿态就可以完全确定刚体的空间状态。如图所示，

或

是

参考坐标系，坐标系

或

是固接在刚体上的，又叫做

随体坐标系。固接点的选择是任意的，并不影响刚体的运动学描述，一般会选择关节轴线或者刚体的质心处。刚体的位置可以用列向量

表示（随体坐标系的原点在参考坐标系中的向量描述），刚体的旋转可以用旋转矩阵

（

随体坐标系三个单位轴在参考坐标系中的向量描述，投影）表示。其中

的建立满足右手系，由3个正交的单位向量组成，所以

中的9个元素只有3个是独立的，实际计算时，会造成资源的浪费

刚体位置描述，随体坐标系原点om在参考坐标系or中的表达

刚体姿态表达，旋转矩阵可以用来描述机器人末端工具相对于固定坐标系的姿态

刚体坐标系描述

刚体的参考点

在随体坐标系中坐标为

，在参考坐标系中坐标为

为了描述的方便，三维向量

会采用齐次表达方式

这样，刚体的参考点

在不同坐标系的表达可以换成，

就是“著名”的

齐次变换矩阵

上面提到旋转变换矩阵是单位正交矩阵，且满足右手系，所以

简单旋转矩阵比如绕X、Y、Z轴的旋转矩阵

绕Z轴旋转90°的旋转过程

cla

绕坐标轴Z旋转90°

满足上述两个条件的旋转矩阵群用

表示，旋转矩阵有4个特征：

1. 旋转矩阵的逆也是旋转矩阵
2. 旋转矩阵的乘积也是旋转矩阵
3. 旋转矩阵满足结合律
4. 向量的旋转变换不改变向量的长度

上述特征都可以用定义，两个条件去证明；也可以感官的去理解，如绕着Z轴旋转+90°，逆变换为了恢复初始状态，则需要绕着Z轴旋转-90°，这还是一个旋转矩阵

连续旋转变换（齐次变换也适用），分为两种情况（下面比较拗口~~~）：

（1）相对于当前坐标系，

坐标系1相对于坐标系0的变化在坐标系0中的描述，

坐标系2相对于坐标系1的变化在坐标系1中的描述，则坐标系2相对于坐标系0的变化在坐标系0中表达关系

（2）相对于固定坐标系，

坐标系1相对于坐标系0的变化在坐标系0中的描述，

坐标系2相对于坐标系1的变化在坐标系0中的描述，则坐标系2相对于坐标系0的变化在坐标系0中表达关系

上面提到旋转矩阵实际只有3个独立变量，所以描述一个旋转矩阵只需要3个参数，有多种表达方式：

（1）欧拉角

比较出名的是Roll-Pitch-Yaw（RPY），可以理解成绕固定坐标系的旋转变换顺序XYZ，也可以理解成绕当前坐标系的旋转变换顺序ZYX

（2）轴-角

绕任意单位轴

（模为1，有两个独立参数），旋转

角，推导过程可以理解成同一个旋转变换在不同坐标系的表达，然后通过相似变换把两个坐标系联系在一起。值得注意的是，当

是，轴是需要指定；而且

,两个轴角变换的效果一样

（3）四元数

四元数实际上是一种高阶复数，空间中以单位向量

为轴转动角

可以用四元数

，通过定义的四元数乘法规则，转换成矩阵的表达形式，可以推导出四元数和旋转矩阵之间的关系。四元数表示刚体姿态时，不会出现万向锁，在规划时不会出现跳变等优势，因而广泛使用在机器人的姿态规划中（坑有点大，慢慢填）

（4）罗德里格斯

推导可以参考wiki，使用几何法，一个向量绕着固定轴旋转一定角度

罗德里格斯

（5）指数

用罗德里格斯公式，对正余弦函数进行泰勒展开和Cayley-Hamilton公式，进行化简

【参考文献】

1. 《Robot modeling and control》
2. 《Modern robotics》