极大团(maximal clique)算法:Bron-Kerbosch算法

不了解极大团(maximal clique)的，请看极大团这篇文章。
该算法是由Coen Bron和Joep Kerbosch在1973提出的，论文原文
参考资料：
Bron-Kerbosch算法视频介绍
极大团算法
当给出一个图之后，我们应该怎么去找出其中的极大团呢？

图

寻找极大团的简单思想就是：
1、生成原始图的所有子图(可能有2^n-1个子图，n表示结点个数)；
2、判断这些子图是不是团；
3、将不是极大团的团都删除；
在我们上面给出的图中，会有许多的子图，例如：

子图

这里没有列出所有的子图，只有部分。
在这些子图里面，我们会发现有些并不是团，例如{1、2、3}组成的图，因为2和3之间并不相连，所以这样的图不符合要求，将其去掉。

团

剩下的所有子图，都是满足了团的要求的图。最后，其中还有许多，不是极大团的，例如{0、1}就不是极大团，因为有{0、1、2}的存在。这些不是极大团的团，我们也要去掉。

极大团

现在剩下的就是我们要找的极大团。

Bron-Kerbosch算法(Version 1)

这个算法主要是构造了三个集合，我们假设：
R集合记录的是当前极大团中已经加入的点。
P集合记录的是可能还能加入的点（也就是与R集合中所有点都有边存在的点，这样加入后，才会构成团）
X集合记录的是已经加入过某个极大团的点（作用是判重，因为会从每个结点开始，枚举所有的团，如果不对已经加入某个极大团的点，进行标记，可能会有重复的极大团出现）
伪代码如下：

Bron-Kerbosch Algorithm(Version 1)
R={}   //已确定的极大团顶点的集合
P={v}  //未处理顶点集，初始状态是所有结点
X={}   //已搜过的并且属于某个极大团的顶点集合

BronKerbosch(R, P, X):
   if P and X are both empty:
       report R as a maximal clique
   for each vertex v in P:
       BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
       P := P \ {v}
       X := X ⋃ {v}

基础的Born_Kerbosch算法：
1、对于每一个在集合P中的点v，我们把v加入集合R（集合P中的点与集合R中所有的点都是连接的，这样加入v，保证集合R依然是一个团），对在P集合中且与点v相连的这部分集合中寻找下一个可能加入R集合的点（意思就是更新P集合，使P集合中的点依旧可以和R集合中的点相连接，因为这里新R集合新加入了v，所以只要是原P集合中且与v相连的，那这些结点就是与新的R集合中所有结点都相连）。
2、回溯时我们把v从P集合中移出，加入X集合代表当前状态下对包含点v的极大团已经计算完毕了。
3、R集合为极大团的时候，必须要满足P与X都是空的。P存放的是还可能加入R集合的点，P集合为空代表没有点还能再加入到R集合当中，而X集合存放的是已经完成极大团计数的点，而且X集合中的点必然是与所有R集合中的点都有边存在的(因为我们每次向下进行dfs的时候，还对P集合和X集合分别进行取与R集合内都相邻的操作来保证，而且加入X集合中的点，就是从R集合中取出来的，当然会和R集合中的所有结点都有边)，也即X集合中点必然可以与R集合构成极大团。如果X集合不是空的的话，可以把X集合中的点加入R集团，此时R集团依然是团，结点数比刚才增加了，说明刚才的R集合就不是极大团，那么说明R集合中的极大团是在之前计算包含X集合中的点的极大团的时候已经计算过了的，故当且仅当P、X都为空集合的时候R才是一个极大团。

算法的实例：