MIT-18.06-线性代数(第八讲)

第八讲 —— 可解性及解的结构

本讲将完整解出线性方程组,目标是:。其是否有解需要通过消元来确认,有解则需要知道是唯一解还是多解,并求出所有解。

1. 可解性

有方程组,,如果方程组有解,需要满足什么条件?想要方程组有解,必须有。换句话说,如果左侧各行的线性组合得到,那么右侧常数的相同组合必然也等于。

写成增广矩阵形式,,开始消元 ——> ——> ,现在方程三变为,这就是有解的条件,与之前的估计保持一致,即需满足。假设右侧向量,此时方程有解,代入得方程组。

可解性(Solvability),有解时右侧向量需满足的条件,满足什么条件,才能让总有解。从列空间的角度,必须属于的列空间,有解,也就是说必须是各列的线性组合。从行的角度,如果各行的线性组合得到零行,那么中元素的同样组合必然也是零。

2. 求的所有解

第一步只求一个特定的解,即特解。将所有自由变量设为,然后解出的主变量。本例中设,方程组此时为,回代得到。特解。

其他的解如何求?这里的关键是:可以加上零空间中的任意,将与相加,最终结果是所有的解。即complete solution 。因为,则有,对于方程组某解,其与零空间内任意向量之和仍为解。

回到本例,。此处零空间是中的二维子空间。是不穿过原点而穿过特解的二维平面。

3. 矩阵的秩

矩阵有行,列,个主元,此时必然有。
满秩(full rank),即取最大时的情况,这存在两种可能性,分别对应于和的数值。

列满秩(full column rank),,意味着每一列都有主元,没有自由变量,这时零空间内只有零向量,因为没有自由变量能够赋值,而如果有解的话只有特解一个,我们称其为唯一解,或者无解。

举例有矩阵,其简化行阶梯形式。这个矩阵有两个无关的行,这里有四个方程,却只有两个未知数,不可能总有解。只有当右侧向量恰好是各列的线性组合时,方程组才有解,例如,对应特解。

行满秩(full row rank),,每一行都会有主元,消元时不会出现零行,因此对没有要求,对应任意,都有解。自由变量个数为,也就是。行满秩情况总有解。

举例有矩阵,其行最简形式,中各主列构成单位阵,剩余部分构成零空间内特解。

满秩(full rank),的情况,举例矩阵,首先这种矩阵肯定是方阵,然后它满秩,这得到的是一个可逆矩阵,其。零空间只包含零向量,对于则一定有解。由于秩等于,任意都有解,又由于秩等于,因此解唯一。

矩阵的秩决定了方程组解的数目。总结如下:

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