【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 3662. 最大上升子序列和

一、题目

1、原题链接

3662. 最大上升子序列和

2、题目描述

给定一个长度为 n 的整数序列 a1,a2,…,an。

请你选出一个该序列的严格上升子序列，要求所选子序列的各元素之和尽可能大。

请问这个 最大值是多少？

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数 a1,a2,…,an。

输出格式

输出最大的上升子序列和。

数据范围

对于前三个测试点，1≤n≤4。
对于全部测试点，1≤n≤10⁵,1≤ai≤10⁹。

输入样例1：

2
100 40

输出样例1：

100

输入样例2：

4
1 9 7 10

输出样例2：

20

样例解释*

对于样例 1，我们只选取 100。

对于样例 2，我们选取 1,9,10。

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

（1）dp[i]表示所有以a[i]结尾的的所有上升子序列中序列和的最大值。

• 以a[i]前面的一个数为是原序列第几个元素（或者没有）对dp[i]进行分类。
• 设a[i]前面一个数为a[k](k>=1&&k)，由于最后一个数固定是a[i]，所以我们要求该子序列和的最大值，只要保证前面以a[k]结尾的子序列的和最大即可。即转移方程为 dp[i]=max(dp[i],dp[k]+a[i])

（2）如果不进行dp优化，时间复杂度最坏为O(n²)，会超时。所以需要利用离散化先将序列中的数映射到一个数组中去，这样就转化成了求所有小于a[i]的所有前缀的最大值，利用树状数组进行优化，最终将时间复杂度控制在O(nlogn)。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(nlogn)

3、代码详解

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100010;
LL tr[N];   //树状数组
int a[N],q[N];   //q[]为离散化数组
int n,m;
//返回最低位的一位1
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
//添加、更新tr[]，存储以x结尾的子序列最大和
void add(int x,LL v){
    for(int i=x;i<=m;i+=lowbit(i)){
        tr[i]=max(tr[i],v);
    }
}
//查询1~x的前缀的最大值
LL query(int x){
    LL ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        ans=max(ans,tr[i]);
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    //离散化
    memcpy(q,a,sizeof a);
    sort(q,q+n);
    m=unique(q,q+n)-q;
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x=lower_bound(q,q+m,a[i])-q+1;   //二分离散化后的值
        LL sum=query(x-1)+a[i];
        ans=max(ans,sum);
        add(x,sum);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

三、知识风暴

树状数组