树与二叉树（详解定义性质基本操作，附代码和选择题）

树

定义

相关术语

二叉树

定义

分类

性质

存储

基本操作

1.建立一棵二叉树

void pre_crt(tree &bt) { //按先序次序输入二叉树中结点的值，生成 
	char ch;
	ch = getchar(); //二叉树的单链表存储结构，bt为指向根结点的指针,'$'表示空树
	if(ch != '$') {
		bt = new node; //建根结点
		bt->data = ch;
		pre_crt(bt->lchild); //建左子树
		pre_crt(bt->rchild); //建右子树
	}
	else bt = NULL;
}

2.二叉树的遍历

先序遍历（DLR）：
若二叉树为空，则空操作，否则
①访问根结点
②先序遍历左子树
③先序遍历右子树

void DLR(tree bt) {
	if(bt == NULL) return;
	cout << bt -> data;
	DLR(bt -> lchild);
	DLR(bt -> rchild);
}

中序遍历（LDR）：
若二叉树为空，则空操作，否则
①中序遍历左子树
②访问根结点
③中序遍历右子树

void LDR(tree bt) {
	if(bt == NULL) return;
	LDR(bt -> lchild);
	cout << bt -> data;
	LDR(bt -> rchild);
}

后序遍历（LRD）：
若二叉树为空，则空操作，否则
①后序遍历左子树
②后序遍历右子树
③访问根结点

void LRD(tree bt) {
	if(bt == NULL) return;
	LRD(bt -> lchild);
	LRD(bt -> rchild); 
	cout << bt -> data;
}

层序遍历（BTLevelSearch）
①首先判断根节点是否为NULL，若是则直接return
②将二叉树的根节点push到队列中
③输出队头的值，并用tmp将队头保存下来，队头出队
④判断队头节点是否有左右孩子，若有则将孩子push到队列中
⑤循环以上操作，直到队空

void BTLevelSearch(tree bt) {
	queue <tree> q;
	if (bt == NULL) return;
	//根节点入队 
	q.push(bt);
	//维护队列 
	while (!q.empty()) {
		//记录队头，队头出队 
		tree tmp = q.front();
		cout << tmp -> data;
		q.pop();
		//可扩展点入队 
		if (tmp -> lchild) q.push(tmp -> lchild);
		if (tmp -> rchild) q.push(tmp -> rchild);
	}
}

对于下图这样一棵二叉树，我们对它进行创建和遍历：

#include
using namespace std;

typedef struct node {
	char data;
	struct node *lchild;
	struct node *rchild;
}BTNode, *tree;
tree root = NULL;

void pre_crt(tree &bt) { //按先序次序输入二叉树中结点的值，生成 
	char ch;
	ch = getchar(); //二叉树的单链表存储结构，bt为指向根结点的指针,'$'表示空树
	if(ch != '$') {
		bt = new node; //建根结点
		bt->data = ch;
		pre_crt(bt->lchild); //建左子树
		pre_crt(bt->rchild); //建右子树
	}
	else bt = NULL;
}

void DLR(tree bt) { //先序遍历
	if(bt == NULL) return;
	cout << bt -> data;
	DLR(bt -> lchild);
	DLR(bt -> rchild);
}

void LDR(tree bt) { //中序遍历
	if(bt == NULL) return;
	LDR(bt -> lchild);
	cout << bt -> data;
	LDR(bt -> rchild);
}

void LRD(tree bt) { //后序遍历
	if(bt == NULL) return;
	LRD(bt -> lchild);
	LRD(bt -> rchild); 
	cout << bt -> data;
}

void BTLevelSearch(tree bt) { //层序遍历 
	queue <tree> q;
	if (bt == NULL) return;
	//根节点入队 
	q.push(bt);
	//维护队列 
	while (!q.empty()) {
		//记录队头，队头出队 
		tree tmp = q.front();
		cout << tmp -> data;
		q.pop();
		//可扩展点入队 
		if (tmp -> lchild) q.push(tmp -> lchild);
		if (tmp -> rchild) q.push(tmp -> rchild);
	}
}

int main()
{
	pre_crt(root); //按先序次序输入二叉树的值并创建二叉树
	
	cout << "先序遍历结果为：" << endl;
	DLR(root);
	cout << endl;
	
	
	cout << "中序遍历结果为：" << endl;
	LDR(root);
	cout << endl;
	
	cout << "后序遍历结果为：" << endl;
	LRD(root);
	cout << endl;
	
	cout << "层序遍历结果为：" << endl;
	BTLevelSearch(root);
	cout << endl;
	
	return 0;
}

输入及运行结果：

3.删除一棵二叉树

void dis(tree &bt) {//删除二叉树
	if(bt != NULL) { 
		dis(bt->lchild); //删左子树
		dis(bt->rchild); //删右子树
		free(bt); //释放父结点
	}
}

4.求k层结点的个数

int BTNodeKLevel(tree bt, int k) { //求k层结点的个数 
	if (bt == NULL) return 0;
	if (k == 1) return 1;
	return BTNodeKLevel(bt -> lchild, k - 1) + BTNodeKLevel(bt -> rchild, k - 1);
}

5.二叉树某结点的层数

void getNodeLayer(tree root,int x,int layer) {
	if(root == NULL) return;
	if(root->data == x) {
		cout << layer << endl;
		return;
	}
	getNodeLayer(root->lchild, x, layer + 1);
	getNodeLayer(root->rchild, x, layer + 1);
}

6.判断一棵二叉树是否为完全二叉树

借助queue，将各个结点，以层序遍历序列进入队列（与二叉树的层序遍历不同的是，值为NULL的结点也需要入队）。
如果发现队头为NULL，表示我们读到了一个空节点，如果它后面的结点都是NULL，则该二叉树是完全二叉树；如果它后面的结点有非NULL结点，则该二叉树不是完全二叉树。

bool BTComplete(tree bt) { //判断是否为完全二叉树 
	queue <tree> q;
	if (bt == NULL) return true;
	//根节点入队 
	q.push(bt);
	//维护队列 
	while (!q.empty()) {
		tree tmp = q.front();
		if (tmp == NULL) { //找到NULL，那么就看其后是否有非NULL结点 
			while (!q.empty()) {
				if (q.front()) return false; //找到非NULL结点，返回false 
				q.pop();
			}
			return true; //没有非NULL结点，返回true 
		}
		else { //还没有找到NULL，继续找 
			q.push(tmp -> lchild);
			q.push(tmp -> rchild);
		}
		q.pop();
	}
}

7.判断一棵二叉树是否为搜索二叉树

//中序遍历二叉树，采用递归方法
void mid_order(tree root, vector<char> &v1) {
	if(root == NULL) return;
	mid_order(root -> lchild, v1);//先遍历左子树
	v1.push_back(root -> data); //然后遍历根节点，将值存储在vector中
	mid_order(root -> rchild, v1);//再遍历右子树
}

bool isValidBST(tree root) {
	if(root == NULL) return true;
	vector<char> v;
	mid_order(root,v);
	int size = v.size();
	for(int i = 0; i < size - 1 ; ++i) {
	if(v[i] >= v[i + 1])//不符合升序，或者存在重复，返回false
		return false;
	}
	//经中序遍历后为无重复的升序序列，则是二叉搜索树
	return true;
}

8.插入一个结点到搜索二叉树中

void insert(tree &bt, int n) { //插入一个结点到搜索二叉树中
	if(bt) {
		if(n < bt -> data) insert(bt -> lchild, n);
		else if(n > bt -> data) insert(bt -> rchild, n);
	}
	else {
		bt = new node; //新开一个空间
		bt->data = n;
		bt->lchild = bt->rchild = NULL;
	}
}

9.在搜索二叉树中查找一棵树

tree findn(tree bt, int n) { //在排序二叉树中查找一个数，找到返回该结点,否则返回NULL。
	if(bt == NULL) return NULL;
	if(n < bt->data) findn(bt->lchild, n);
	else if(n > bt->data) findn(bt->rchild, n);
	else return bt;
}

10.等等…

一些知识点

已知中序序列和先序/后序序列，构造出二叉树

树的计数问题

表达式树

相关选择题