HyperLogLog原理

1. 背景

基数(cardinality)统计,即求一个集合中,不重复的元素个数。例如集合{1,1,2,3,4}的基数是4。
在互联网中,典型的应用场景就是uv统计,下面就用uv统计作为例子去阐述。

对于uv统计,最简单的做法,是对被统计项,维护一个set去重,但这样做会有两个问题:

  1. 如果uv统计上限很高,那么这个set的空间开销就很大
  2. 如果被统计项有很多个,例如对于每一样商品,都要统计uv,那么空间开销巨大

针对这种情况,我们可以用允许一点误差,用概率统计的方法,将空间消耗极大降低

这里的set也能用BloomFilter去做,有误差但开销也比一般的用要小很多。

2. 思路和原理

2.1 去重

首先,这里的关键问题尽量降低代价的去重。显然,可以用哈希,hash(user_id)就把string变成整数,每个user_id都能唯一确定一个整数(看你有冲突),这样就去重来。然后再看看怎么统计。

2.2 统计

既然是基于概率的统计方法。
我们想想抛硬币,反面记0,正面记1,正反面的概率都是1/2。第一次出现正面的位置记为ρ(x),那么ρ(0001)=3,0001出现的概率是1/23=1/16。换句话讲,就是进行16次实验,很可能出现一次或以上0001。再换句话讲,进行n轮实验,最大ρ(x)为y,那么可以估算进行出n=2y

然后,我们只要把要去重的key,转换成一串01字符串,就能套用上面的统计方法了。

记hash函数的最大值为2L,把hash(key)看成长度为L的01串,换句话说,hash(key)就是进行L次抛硬币,并且每次只要key相同,抛硬币的结果就相同(去重了),然后从左到右找第一个1的位置就ok了。例如:
有三个key,相当于进行三次试验
hash(key1) = 01010110,ρ(01010110) = 2
hash(key2) = 01110010,ρ(01110010) = 2
hash(key3) = 00100110,ρ(00100110) = 3
最大值是3,所以根据概率看,有23=8次。可以看到,在数据量小时,误差会比较大,而且根据这个算法,统计出来的数字只会是2的次幂,虽然这样,但是基本思想已经掌握,接下来的就是优化了。

2.3 优化

2.3.1 分桶(log counting算法)

直接用最大的ρ(x),受随机事件的影响很大,例如如果前几次就来一个0000000000000001。有一个方法,可以降低这种影响,就是分桶取平均数,例如分4个桶,取前两位作为桶的标志,
hash(key1) = 01010110,ρ(01010110) = 2,bucket 01
hash(key2) = 01110010,ρ(01110010) = 0,bucket 01
hash(key3) = 00000011,ρ(00000011) = 5,bucket 00

bucket max ρ
bucket 00 5
bucket 01 2
bucket 10 0
bucket 11 0
bucket avg (5+2)/4,向上取整得2

所以估算值为22=4,这样影响就比较小了

2.3.2 调和平均数

但是如果遇到更极端的随机事件,例如hash函数最大是232,去到最后一位,对分桶取算数平均数的影响还是很大的,怎么办呢?数学上有个叫调和平均数的东西,我们用调和平均数取代算数平均数即可。

image.png

2.4 合并

多个HLL取并集,很简单,就是对比相同位置上的bucket,只保留最大的bucket。

2.5 最终公式与误差

image.png

const常数的选择

// m 为桶数,p是m的以2为底的对数
switch (p) {
   case 4:
       constant = 0.673 * m * m;
   case 5:
       constant = 0.697 * m * m;
   case 6:
       constant = 0.709 * m * m;
   default:
       constant = (0.7213 / (1 + 1.079 / m)) * m * m;
}

在刚开始样本比较少的时候,用上面的算法还是容易偏大,这时可以用下面的方法估算:

(DV代表估计的基数值,m代表桶的数量,V代表结果为0的桶的数目,log表示自然对数)
if DV < (5 / 2) * m:
    DV = m * log(m/V)

参考文章:https://www.jianshu.com/p/55defda6dcd2

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