Icy Hunter
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考研数学之导数与微分

文章目录

  • 导数
  • 微分
  • 求导方法
    • 基本初等函数的导数公式
    • 求导法则
    • 隐函数求导
    • 反函数的导数
    • 参数方程求导
    • 对数求导法
  • 高阶导数
  • 微分中值定理
    • 费马引理
    • 罗尔定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 柯西中值定理
  • 泰勒公式
  • 导数应用
  • 渐进线
  • 弧微分与曲率

导数

考研数学之导数与微分_第1张图片
可以看到导数的定义受到x0点的函数值影响，而这个点的极限则并不受函数值的影响。
考研数学之导数与微分_第2张图片
和左极限右极限、左连续右连续类似。

微分

考研数学之导数与微分_第3张图片
一元函数：
考研数学之导数与微分_第4张图片

求导方法

基本初等函数的导数公式

考研数学之导数与微分_第5张图片

考研数学之导数与微分_第6张图片

求导法则

考研数学之导数与微分_第7张图片

隐函数求导

在这里插入图片描述
当对y求导时，因为y是关于x的函数，所以求出来应该是dy/dx或记为y’

反函数的导数

考研数学之导数与微分_第8张图片
反函数的导数，就等于原函数的导数的导数

考研数学之导数与微分_第9张图片
将t = arsinx
则x = sint
x‘ = cost
则t’ = 1 / cost
cost = 1 - sint^2 开根号
证毕。

参数方程求导

考研数学之导数与微分_第10张图片

对数求导法

在这里插入图片描述
两边分别取对数求导，再带回去即可

高阶导数

考研数学之导数与微分_第11张图片
常用高阶导数公式
考研数学之导数与微分_第12张图片

微分中值定理

费马引理

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

罗尔定理

考研数学之导数与微分_第13张图片
a和b函数值相等，则之间必有一点导数为0

拉格朗日中值定理

考研数学之导数与微分_第14张图片
a，b之间必有一点的切线与a、b的连线平行。

柯西中值定理

考研数学之导数与微分_第15张图片
推广至参数方程

泰勒公式

考研数学之导数与微分_第16张图片
一个局部泰勒公式，一个是整体泰勒公式。

常见泰勒公式
考研数学之导数与微分_第17张图片
考研数学之导数与微分_第18张图片

导数应用

可能的极值点（函数单调性改变的点）：
1.导数为0的点
2.导数不存在的点

可能的拐点（函数凹凸性改变的点）：
1.二阶导数为0的点
2.二阶导数不存在的点

渐进线

考研数学之导数与微分_第19张图片

弧微分与曲率

考研数学之导数与微分_第20张图片

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他