欧拉图与欧拉回路（通路）

欧拉图与欧拉回路

基本概念

欧拉图：

• 指通过图（ 无向图 或 有向图 ）中所有边且每边仅通过一次通路，最终能回到起点

欧拉回路：

• 如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径 。 如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路

欧拉通路：

• 类似于“一笔画”，即可以不回到起点，但是必须经过每一条边，且只能一次。

性质与判定

欧拉回路

• 图是联通的，不能存在孤立点
• 根据欧拉回路特点
  • 对于有向图来说，每个点的出读要等于入度
  • 对于无向图来说，不存在度数为奇数上午的点

欧拉通路

• 图是联通的，不能存在孤立点

• 对于有向图来说，可以存在两个点出度与入度不相等

  • 起点：出度比入度大1
  • 终点：入度比出度大11

• 对于无向图来说，可以存在两个点度数为奇数的点

  • 同样的，一个为起点另一个为终点

代码实现

• 首先判断图是否联通，可以用并查集

//初始化
for(int; i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
//合并结点
int findx(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = findx(p[x]);
    return p[x];
}

//只要res的值不为一（根节点），即非联通
 for(int i = 1, res = 0; i <= n; i ++)
        if(du[i] && p[i] == i) res ++;

• 建图过程中要记录度数，通过度数可以判断是否满足欧拉回路（路径）

 for(int i = 0; i < m; i ++)
 {
     int x, y;
     cin >> x >> y;
     dis[x][y] = dis[x][y] = 1;
     du[x] ++, du[y] ++;

     int a = findx(p[x]),b = findx(p[y]);
     p[a] = b;
}

• dfs求解路径

//注意，递归得到的是倒存
void dfs(int u)
{
    for(int i = 64; i <= 125; i ++)
    {
        if(dis[u][i])
        {
            dis[u][i] = dis[i][u] = 0;
            dfs(i);
        }
    }
    ans[-- n] = u;
}

例题

无序字母

根据ascii码表的特性建图，按照以上思路解题即可

code

#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, k, t;
int p[N], dis[N][N];
int du[N];
string s;
char ans[N];

int findx(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = findx(p[x]);
    return p[x];
}

void dfs(int u)
{
    for(int i = 64; i <= 125; i ++)
    {
        if(dis[u][i])
        {
            dis[u][i] = dis[i][u] = 0;
            dfs(i);
        }
    }
    ans[n --] = u;
}

int main()
{
    for(int i = 64; i <= 125; i ++) p[i] = i;
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        cin >> s;
        dis[s[0]][s[1]] = dis[s[1]][s[0]] = 1;
        du[s[0]] ++, du[s[1]] ++;

        int a = findx(p[s[0]]),b = findx(p[s[1]]);
        p[a] = b;
    }

    int res = 0;
    for(int i = 64; i <= 125; i ++)
        if(du[i] && p[i] == i) res ++;
    if(res != 1)
    {
        puts("No Solution");
        return 0;
    }

    int cnt = 0, tem = 0;
    for(int i = 64; i <= 125; i ++)
    {
        if(du[i] % 2)
        {
            cnt ++;
            if(!tem) tem = i;
        }
    }
    if(cnt && cnt != 2 )
    {
         puts("No Solution");
         return 0;
    }

    if(!tem)
        for(int i = 64; i <= 1225; i ++)
            if(du[i])
            {
                tem = i;
                break;
            }
    dfs(tem);
    cout << ans << "\n";

    return 0;
}