【acwing】889. 满足条件的01序列**（卡特兰数）

穿越隧道

通过将01序列转为二维坐标轴上的路径：
将0表示为向右走；将1表示为向上走
合法路径为y=x(含）和x轴之间的路径。
非法路径为y=x+1(只要路径和y=x+1)相交时，就是非法路径。合法路径（6，6）以（y=x+1)为轴进行对称时，为（5，7）$C_{12}^5或C_{12}^7$
即合法路径等于$C_{2n}^n（总路径）-C_{2n}^{n-1}(非法路径）=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$
$C_a^b=C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{n!\ast n!}=\frac{2n\ast (2n-1)\ast ...\ast (2n-n+1)}{1\ast 2\ast ...\ast n}$
所以，需要求1~b和n+1的逆元。

#include 
#include 
#include 
/*因p是质数，所以可以用费马定理。
费马定理可以用快速幂求解。
如果p不是质数，则只能用扩展欧几里得*/
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmi(int a, int b){
	ll res = 1 % mod;
	while(b){
		if(b & 1) res = (1ll) * res * a % mod;
		a = (1ll) * a * a % mod;
		b >>= 1; 
	}
	return res;
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int a = 2 * n, b = n;
	ll res = 1;
	for(int i = a; i > a - b; i--) res = (1ll) * res * i % mod;
	for(int i = 1; i <= b; i++) res = (1ll) * res * qmi(i,mod - 2) % mod;
//	for(int i = 1; i <= b; i++) res = (1ll) * res * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
	res = (1ll) * res * qmi(n + 1, mod - 2) % mod;
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}