决策树中的信息增益、信息增益比和基尼系数

前面的信息论已经简单介绍了信息熵的概念。在决策树算法中，也使用到了信息增益来构建决策树。下面会通过一个通俗的例子理解信息增益与信息增益率。

信息增益 information gain

在决策树算法中，存在多个特征，那么在生成决策树时优先选取哪个特征呢? 这就是由信息增益说了算。信息增益高，说明该特征比较重要，因为它带来的信息量变化大。

信息增益的公式如下，即 信息熵-条件熵

以下是具体的例子：

以上总共有17个数据，D表示第k类样本所占比例，这里k为2，即是否为好瓜。好瓜的比例 不好的瓜的比例是。

1. 信息熵 

2.色泽的条件熵

我这里想计算色泽的信息增益，于是我还需要计算色泽的条件熵

条件概率公式为

这里色泽为{青绿、乌黑、浅白}

青绿色总共有6个，其中正例为3/6,反例为3/6  

乌黑的总共有6个，其中正例为4/6,反例为2/6  

浅白的总共有5个，其中正例为1/5,反例为4/5  

色泽的条件熵

3. 色泽的信息增益

同理，可以计算出其他特征的信息增益

      

    

可见纹理的信息增益最大，即在以上几个特征中，纹理的信息会比较大的影响一个瓜的好坏。在决策树算法中，则会优先选择该特征作为当前节点。

信息增益率 gain ratio

实际上，信息增益会偏好于取值数目较多的属性，而信息增益率能够避免这个影响。其公式如下

 

其中  被称为属性a的固有值 intrinstic value.

属性a的取值数量越多，则的值通常会更大

基尼指数 Gini index

不管是信息增益还是信息增益率，都存在大量的对数运算，而在Cart的决策树算法中，就是使用基尼系数来表示信息的纯度，因为它在简化模型计算的同时又保留了信息熵的特性。

对于分类问题，如果数据集有k个分类，并且第k个分类的概率为,数据集D的纯度可以用基尼值来度量，则其基尼指数为：

反映的是从D中随机抽取两个样本，其类别标记为不一致的概率；越小，数据纯度越高。

对于样本D，如果根据特征a有v种可能，则其基尼指数为

在特征选取中，会优先选择基尼指数最小的属性作为优先划分属性