【蓝桥杯】K倍区间

[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 N N N 的数列, A 1 , A 2 , ⋯ A N A_1,A_2, \cdots A_N A1,A2,AN,如果其中一段连续的子序列 A i , A i + 1 , ⋯ A j ( i ≤ j ) A_i,A_{i+1}, \cdots A_j(i \le j) Ai,Ai+1,Aj(ij) 之和是 K K K 的倍数,我们就称这个区间 [ i , j ] [i,j] [i,j] K K K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K K K 倍区间吗?

输入格式

第一行包含两个整数 N N N K K K ( 1 ≤ N , K ≤ 1 0 5 ) (1 \le N,K \le 10^5) (1N,K105)

以下 N N N 行每行包含一个整数 A i A_i Ai ( 1 ≤ A i ≤ 1 0 5 ) (1 \le A_i \le 10^5) (1Ai105)

输出格式

输出一个整数,代表 K K K 倍区间的数目。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1  
2  
3  
4  
5

样例输出 #1

6

提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

分析

题目很简单,我的第一反应就是暴力,直接双重循环枚举左右区间

import java.util.*;
public class Main{
    static int res;
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int k = scan.nextInt();
        int[] a = new int[n+1];
        for(int i = 0;i<n;i++){
            a[i]=scan.nextInt();
        }
        for(int i = 0;i<n;i++){
            int q = 0;
            for(int j=i;j<n;j++){
                q+=a[j];
                if(q%k==0) res++;
            }
        }
        System.out.println(res);
    }
}

代码没啥问题,但会超时,

【蓝桥杯】K倍区间_第1张图片

我们考虑优化,区间和问题,自然想到的就是前缀和,借此可以优化一维,但是如果就仅仅优化这个还是不够的,依旧会超时,这我们就不得不思考一种新的方法来判断是否满足K倍区间,根据同余定理 ,因此有如下思路

已知a

那么我们就可以将前缀和模k的值为0,1,2…k-1的区间数分别求出来,然后分别计算。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    // 后面用不到原数列,所以只存储前缀和
    public static int[] sum = new int[100005];
    // 用来统计相同余数的的个数
    public static long[] remainder = new long[100005];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long ans = 0;
        // 前0项和是0,注意余数为0开始就出现一次
        remainder[0] = 1;
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int num = sc.nextInt();
            sum[i] = sum[i - 1] + num;
            remainder[sum[i] % k]++;
        }
        sc.close();
        for (int i = 0; i < k; i++)
            ans += (remainder[i] * (remainder[i] - 1)) >> 1;
        System.out.println(ans);
    }
}

【蓝桥杯】K倍区间_第2张图片

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