代码随想录算法训练营第四十二天 | 416. 分割等和子集

背包问题之01背包问题基础：

视频讲解

（一）常见要求：

有n件物品，每个物品只有一个，和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

 

（二）分析

（i）如果用二维数组解决

（1）确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

i : 物品质量

j：背包容量

dp[ i ][ j ]：从质量[ 0 - i ]物品里任取放进容量为 j 的背包里能得到的最大价值总和

（2）递推公式

有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][ j ]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[ i ] [ j ]就是dp[i - 1][ j ]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)（从二维数组上一格推出）
• 放物品i：由dp[i - 1][ j - weight[ i ] ]推出，dp[i - 1][ j - weight[ i ] ] 为背包容量为 j - weight[ i ] 的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[ i ] ] + value[ i ] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值（从二维数组左上方推出）

所以递归公式： dp[ i ][ j ] = max(dp[i - 1][ j ], dp[ i - 1 ][ j - weight[ i ] ] + value[ i ]);

 （3）初始化

如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

 

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

 

 （4）遍历顺序

 01背包问题先物品再背包或先背包再物品都可以

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;    //设置最大背包重量是4

    // 二维数组
    vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));    //其实也藏了初始化

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {    // j 先从能装下第一个物品的背包开始
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];    //如果当前背包放不下当前物品
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

（ii）如果用一维数组解决

1.确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.一维dp数组的递推公式

dp[ j ]可以通过dp[ j - weight[ i ] ]推导出来，dp[ j - weight[ i ] ]表示容量为j - weight[ i ]的背包所背的最大价值。

dp[ j - weight[ i ] ] + value[ i ] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[ j ] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3. 一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[ j ]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

4. 一维dp数组遍历顺序

 二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

且一维必须先遍历物品再遍历背包

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30（2 - weight[0] = 1, 即dp[1]里面已经放了物品0了）

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

！

416. 分割等和子集

视频讲解

主要思路：

这题其实可以抽象成01背包问题，就是

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

然后就是往01背包问题上套就行

易错点：

（1）如果sum / 2 == 1即奇数，则不可能用两个相同的背包装下 

代码实现：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        int capacity = sum / 2;
        if(sum % 2) return false;   //如果除以2是奇数，则不可能能分成两个相同背包装完
        vector dp(capacity + 1, 0);    //dp[j]含义：容量为j的背包能装下物品的最大价值
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {  //遍历物品
            for(int j = dp.size() - 1; j >= nums[i]; j--) {     //遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        if(dp[capacity] == capacity) return true;
        else return false;
    }
};