【蓝桥杯】简单数论3——素数

1、素数判断

素数定义:只能被1和自己整除的正整数。注:1不是素数,最小素数是2。

判断一个数n是不是素数:当n≤10^{14}时,用试除法;n>10^{14}时,试除法不够用,需要用高级算法,例如Miller_Rabin算法。

试除法:用[2, n-1]内的所有数去试着除n,如果都不能整除,就是素数。

  • 优化1:把[2, n-1]缩小到[2, √n]。证明:若n= a×b,其中a≤√n,b>√n,如果n有个因子是a,说明n不是素数,b不用再试。
  • 优化2:提前算出[2, √n]范围内的所有素数,用这些素数来除n就行了。埃氏筛用到这一原理。范围[2,√n]内有多少个素数?在1百万以内,约有7.8万个素数;在1亿以内,约有576万个素数,提高了十几倍的速度。但一般只需要用优化1即可。
from math import*
def is_prime(n):                #若n是素数,返回true
    if n == 1: return False     #1不是素数
    m = int(sqrt(n)+1)          #sqrt(n),也可以这样写n**0.5
    for i in range(2, m):
        if n % i == 0: 
            return False        #不是素数
    return True                 #是素数

 例题一:选数

lanqiao0J题号753

题目描述

已知 n 个整数 1,2,⋯,x1​,x2​,⋯,xn​,以及一个整数 k(k<n)。从 n 个整数中任选 k 个整数相加,可分别得到一系列的和。例如当 n=4,k=3,4个整数分别为 3,7,12,19 时,可得全部的组合与它们的和为:

3+7+12=22            3+7+19=29            7+12+19=38            3+12+19=34。

现在,要求你计算出和为素数共有多少种。 例如上例,只有一种的和为素数:3+7+19=29。

输入描述

输入格式为:

第一行:n,k(1≤n≤20,k<n)

第二行:x1​,x2​,⋯,xn​(1≤xi​≤5×106)

输出描述

一个整数(满足条件的种数)。

输入输出样例

输入

4 3
3 7 12 19 

输出

1

先得到从s中选出k个的所有组合,使用combinations()函数,然后判断这些组合的和是否为素数。

from math import *
from itertools import * # combinations(s,k)需要导入这个库
def is_prime(n):
    if n == 1: return False
    m = int(sqrt(n)+1)#sqrt(n)可以这样写n**0.5
    for i in range(2, m):
        if n % i == 0: return False
    return True
n, k = map (int, input ().split())
s = list (map(int, input ().split()))
cnt = 0
for e in combinations(s,k): # 从s中选出k个的所有组合
    num= sum(e)             #求和
    if is_prime (num) == True: cnt+=1
print(cnt)

例题二:笨小猴 

lanqiao0J题号527

题目描述

笨小猴的词汇量很小,所以每次做英语选择题的时候都很头疼。但是他找到了一种方法,经试验证明,用这种方法去选择选项的时候选对的几率非常大!

这种方法的具体描述如下:假设 maxn 是单词中出现次数最多的字母的出现次数,minn 是单词中出现次数最少的字母的出现次数,如果 maxn−minn 是一个质数,那么笨小猴就认为这是个 Lucky Word,这样的单词很可能就是正确的答案。

输入描述

输入一行,是一个单词,其中只可能出现小写字母,并且长度小于 100。

输出描述

输出两行,第一行是一个字符串,假设输入的的单词是Lucky Word,那么输出Lucky Word,否则输出No Answer

第二行是一个整数,如果输入单词是 Lucky Word,输出 maxn−minn 的值,否则输出 0。

输入输出样例

示例 1

输入

error

输出

Lucky Word
2

示例 2

输入

Olympic

输出

No Answer
0

模拟,统计每个字母出现的次数s.count(i),然后判断maxn-minn是否为素数。

from math import *
def is_prime(n):
    if n == 0 or n==1:return False
    m = int(sqrt(n)+1)
    for i in range(2,m):
        if n%i == 0:  return False
    return True
s = input()
maxn= -1    # 反向初始化(最大值初始化为最小,最小值初始化为最大)
minn= 1000
for i in s: # 找出最最小值
    n=s.count(i)
    maxn=max(maxn,n)
    minn=min(minn,n)
if is_prime(maxn-minn):print("Lucky Word");print(maxn-minn)
else:                  print("No Answer");print(0)

例题三: 最大最小公倍数

lanqiao0J题号1510

题目描述

已知一个正整数 N,问从 1∼N 中任选出三个数,他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入描述

输入一个正整数 N。1≤N≤10^6。

输出描述

输出一个整数表示答案。

输入输出样例

输入

9

输出

504

思路:贪心

  • 贪心题,从大的数开始选。不过,简单地把N里面最大的三个数相乘,N*(N-1)*(N-2),并不正确,需要分析多种情况。
  • 最小的公倍数是三个数的质因数相乘,如果有几个质因数相同,则比较两数中哪个数的质因数的个数较多。例如6、7、8的最小公倍数,先分解因子:6=2×3,7=7×1,8=2×2×2,它们的最小公倍数是3×7×2×2×2。
  • 大于1的两个相邻整数互质,它们没有公共的质因数。如果题目是任选二个数,最大的最小公倍数是N*(N-1)

对于连续的最大三个整数,分两种情况:
(1)N是奇数。N、N-1、N-2是奇偶奇,结论是这三个数两两互质,三个数的乘积就是最大的最小公倍数。三个数两两互质,也就是说任意一个质数,只在N、N-1、N-2中出现一次。连续的三个整数的质因数必有2和3,奇数N的质因数可能仅有3,但有且仅有N-1有质因数2。所以N是奇数,那么N、N-1、N-2互质。

证明:下面对这两个质数分析:

  • 质因数2,只在N-1中出现。
  • 质因数3,如果在N中出现(设N=3a,a为整数),就不会在N-1中出现(这要求N-1 = 3b,,n为整数,N无整数解),也不会在N-2中出现(这要求N-2= 3b,N无整数解)。

结论:推广到任何一个质数k,都只会在N、N-1、N-2中出现一次,所以三个数互质。

(2)N是偶数。 N的质因数要么有2和3两个质数,要么有2一个质数

  • 质因数2,N和N-2有公因子2;
  • 质因数3,若设N= 6a,N-1=6b, N-2=6c。由上面质因数3的分析可知,质数3只会出现在N中

结论:如果偶数N中有质因数3,那么N、N-1、N-2互质,否则N、N-1、N-3互质(因为只有N有质因数2)。

n = int(input())
if n <= 2: print(n)
elif n % 2 != 0:  # n是奇数
    print(n * (n - 1) * (n - 2))
else:             # n是偶数
    if n % 3 == 0: print((n-1)*(n-2)*(n-3))# n有因数3
    else:print (n*(n-1)*(n-3))             # n没有因数3

 2、素数筛

  • 素数的筛选:给定n,求2~n内所有的素数。
  • 一个个地判断很慢,所以用“筛子”筛所有的整数,把非素数筛掉,剩下的就是素数。
  • 常用两种筛法:埃氏筛、欧拉筛。

2.1埃氏筛

初始队列{2、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...,n},操作步骤:
...
(1)输出最小的素数2,筛掉2的倍数,得{3,5,7,9,,11,13,...}

(2)输出最小的素数3,筛掉3的倍数,得{5,7,11,13,...}

(3)输出最小的素数5,筛掉5的倍数,得{7,11,13,...}

继续以上步骤,直到队列为空。

例题四:质数(模板题)

lanqiao0J题号1557

题目描述

给定一个正整数 N,请你输出 N 以内(不包含 N)的质数以及质数的个数。

输入描述

输入一行,包含一个正整数 N。1≤N≤1000

输出描述

共两行。

第 1 行包含若干个素数,每两个素数之间用一个空格隔开,素数从小到大输出。

第 2 行包含一个整数,表示N以内质数的个数

输入输出样例

输入

10

输出

2 3 5 7
4
  • vis[i]记录数i的状态,若vis[i]=1,表示它被筛掉,不是素数。
  • prime[ ]存放素数,prime[0]是第一个素数2。
  • E_sieve(n)函数用来做筛除的数2、3、5......等,最多到\sqrt{n}就可以了。例如,求n =100以内的素数,用2、3、5、7筛就足够了。原理和试除法一样:非素数k,必定可以被一个小于等于的素数整除,被筛掉。
from math import *
def E_sieve(n) : # 埃氏筛
    for i in range (2,int (sqrt(n)+1)):
        if not vis[i]:    # 没有被筛过,是素数
            for j in range(i*i, n+1,i):    # 开始筛该素数的倍数
                vis[j] = 1
    k=0
    for i in range (2, n+1):   #存素数
        if not vis[i]:    # 没有被筛
            prime[k] = i  # 是素数。可以不需要用prime存,直接打印即可print(vis[i],end=" ")
            k += 1
    return k
N= int(1e6)
prime =[0]*N
vis = [0]*N
n = int (input())
k= E_sieve(n-1)
for i in range (0,k): print (prime[i], end=" ")
print ()
print (k)

 3、区间素数

求[2, n]内的素数,只能解决规模n<10^7的问题。如果n更大,在某些情况下,也可以用埃氏筛法来处理,这就是大区间素数的计算。
把埃氏筛法扩展到求区间[a, b]的素数,a,b-a≤10^6

方法:先用埃氏筛法求[2,\sqrt{n}]内的素数,然后用这些素数来筛[a,b]区间的素数

例题五:找素数(模板题)

lanqiao0J题号1558

题目描述

给定一个区间 [a,b],请你求出该区间内有多少个素数。

输入描述

输入共一行,包含两个整数 a,b。

2≤a≤b≤2^{31},b−a≤1000000

输出描述

输出一个整数,表示答案。

输入输出样例

输入

2 6

输出

3

题解: 

本题a,b<= 2^{31} ,不能直接定义一个vis[N],N=2^{31}来表示[0,b]内的每个数字,空间太大。
只能定义区间大小的空间,即N=1000000。

代码

from math import *
def seg_sieve(a, b):
    for i in range(2,int(sqrt(b))+1):   # 先用埃氏筛求2~√n的素数
        if vis[i]== True:                      # 是素数
            for j in range(i*i,int(sqrt(b)),i):
                vis[j]=False
            # 再求[a, b]的素数
            for j in range(max(2,(a+i-1)//i)*i, b+1,i): # 难点:处理起点:max(2,(a+i-1)//i)*i,从当前素数i的倍数开始筛
                seg_prime[j-a]=False
    num= 0
    # 统计[a, b]的素数个数
    for i in range(0, b-a+1):
        if seg_prime[i]:
            prime[num] = i+a
            num += 1
    print(num)
N = 1000005 # 稍微大一点(保险)
vis = [True]*N          # 标记[2, sqrt(b)]是否为素数
prime = [0]*N           # 存[a, b]的素数
seg_prime = [True] * N  # 标记[a, b]是否为素数
a, b = map(int,input ().split())
seg_sieve(a,b)

4、分解质因子

任何一个正整数n都可以唯一地分解为有限个素数的乘积n=p_1^{c1}p_2^{c2}...p_m^{cm},其中c_i都是正整数,p_i都是素数且从小到大
分解质因子也可以用试除法。求n的质因子:
(1)第一步,求最小质因子p_1。逐个检查从2到\sqrt{n}的所有素数,如果它能整除n,就是最小质因子。然后连续用p_1除n,目的是去掉n中的p_1,得到n_1

 (2)第二步,再找n_1的最小质因子。逐个检查从p,到的所有素数。从p_1开始试除,是因为n_1没有比p_1小的素因子,而且n_1的因子也是n的因子。

 (3)继续以上步骤,直到找到所有质因子。

例题六:寻找质因子 

题目描述

给定一个区间 [a,b],请你求出区间 [a,b] 中所有整数的质因数分解。

输入描述

输入共一行,包含两个整数 a,b。

2≤a≤b≤10000。 

输出描述

每行输出一个数的分解,形如 k=a1​×a2​×a3​⋯(a1​≤a2​≤a3​⋯,k也是从小到大的)(具体可看样例)

输入输出样例

输入

3 10

输出

3=3
4=2*2
5=5
6=2*3
7=7
8=2*2*2
9=3*3
10=2*5

题解:

直接对每个数进行分解,然后打印出它的因数。

def s(x):#返回x的第一个因子
    for i in range(2,int(x**0.5)+1):
        if x%i==0:return i
    return x        # 若没有找到因子,返回本身
a, b = map(int,input ().split())
for x in range(a, b+1):
    print(x,end="") ; print( '=', end="")
    while x!=1:
        ans = s(x)    # 求最小质因数
        if x/ans != 1: print(ans, end="") ; print('*', end="")
        else:print (int(ans)) # 质因子是本身,直接输出
        x /=ans               # 除掉最小质因子,继续找下一个最小质因子

例题七:数的拆分

2022年第十三届省赛lanqiao0J题号2090

问题描述

给定 T 个正整数 ai​, 分别问每个 ai​ 能否表示为 x1^{y1}*x2^{y2}的形式, 其中 x1​,x2​ 为正整数, y1​,y2​ 为大于等于 2 的正整数

输入格式

输入第一行包含一个整数 T 表示洵间次数。

接下来 T 行, 每行包含一个正整数 ai​ 。

输出格式

对于每次询问, 如果 ai​ 能够表示为题目描述的形式则输出 yes, 否则输出 no.

样例输入

7
2
6
12
4
8
24
72

样例输出

no
no
no
yes
yes
no
yes

样例说明

第 4,5,74,5,7 个数分别可以表示为:

a4​=2^2*1^2

a5​=2^3*1^2

a7​=2^3*3^2

评测用例规模与约定

对于 10%1 的评测用例, 1≤T≤200,ai​≤10^9;

对于 30% 的评测用例, 1≤T≤300,ai​≤10^18;

对于 60% 的评测用例, 1≤T≤10000,ai​≤10^18;

对于所有评测用例, 1≤T≤100000,1≤ai​≤10^18

 题解:

例:24不行,因为24=3^1*2^3。72可以,因为72=2^3*3^2
数据规模ai≤10^{18},即使用之前的优化方法:遍历2~\sqrt{a_i}(即2~10^9)也是不能通过所有测评用例。

对a进行素因子分解a= p^{q1}_1p^{q2}_2
重点:题目要求q_i≥2,拆分q_i=k_1y_1+k_2y_2,k_1,k_2\geq 0,y_1,y_2\geq 2y_1=2,y_2=3可以保证所有q_i\geq 2均有非负整数解。
q_i=ky_1+ ky_2= 2k_1+3k_2= k对于任意k>1都有非负整数解,例如:

  • k %3=0,k_1=0,k_2= k/3
  • k %3=1,k_1=2,k_2=(k-4)/3
  • k %3=2,k_1,= 1,k_2=(k-2)/3

问题变成a是否能分解为x_1^2x_2^3,检测每个q_i是否大于等于2,只要大于等于2,就可以按对应的k分配到x_1,x_2

本题a≤10^18,所以x_1^2x_2^3=10^{18},当素因子p >4000时p^5 \geqslant 10^{18}​​​​​​​,只需要暴力判断4000以内的素因子,对于大于4000的p,指数只能是2、3、4判断是否为平方数或立方数即可

时间复杂度:
用埃氏筛预计算p=.4000以内的素数,O(p^2)。
然后进行判断,O(T*550),550是4000以内的素数个数。

from math import *
N = 4000
prime = [0]*N
vis = [0]*N
cnt = 0
def E_sieve(): # 预计算4000以内的素数
    global cnt
    for i in range(2,N):
        if not vis[i]: cnt+=1; prime[cnt] = i
        for j in range(i*i,N,i):vis[j] = 1
def solve() :
    a = int(input())
    for i in range (1, cnt+1):   # 遍历4000以内所有素数
        c = 0                    # 统计因子个数
        while a % prime[i] == 0: # 能被整除,
            a/=prime[i]
            c+=1                 # 次方+1
        if c==1: print("no"); return   # 次方数为1,不合题意
    k = int(sqrt(a))
    if k*k == a: print("yes"); return  # 检查n是否为平方数
    k = int (pow(a,1/3))
    if k*k*k==a: print("yes"); return   # 检查n是否为立方数
    print("no")
E_sieve()
T=int(input())
for i in range(T): solve()

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