洛谷——P1077 摆花

【题目描述】

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 m 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 n 种花，从 1 到 n 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 i 种花不能超过  盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

【输入】

第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 1​,​,⋯,​。

【输出】

一个整数 x，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 +7 取模的结果。

样例输入

2 4
3 2

样例输出

2

解题思路

这个题目可能很容易就想到要用动态规划解题，思考的方向也是由浅入深。

用动态 f[i][j] 数组存储当前统计到的方案数（f[i][j] 代表一共有 i 种花时，摆放 j 盆的方案数），其中要初始化，也就是无论有多少种花（n），只要装盆数 m = 0 了，那么方案数就是 1，所以设置一个循环，从 i=0 到 i=n 时的 f[i][0] 赋为 1。

接下来就是考虑方案数了，先看状态转移方程的代码：

for(i=1;i<=n;i++)//遍历第 1种花到第 n种花 
	{
		for(j=0;j<=a[i];j++)//表示第 i种花有 a[i]朵，但是只放 j盆 
		{
			for(k=0;k<=m-j;k++)//原先有 k盆花 
			{
			    //j和 k同时为 0，代表着 n种花装 0盆，因为先前 f[i][0]已经赋值为 1了，此时不需要进行操作
				if(j==0&&k==0) 
				continue;
				f[i][k+j]=(f[i][k+j]+f[i-1][k])%mod; 
			}
		}
	}

f[i][j+k] 的含义是第 i 种花摆放 j+k 盆的方案数（第 i 种花摆放 j 盆，而前 i-1 种花摆放了 k 盆，此时一共摆放了 j+k 盆花）。

最外层循环时遍历一遍所有种类的花，内层的 j 循环是从 j=0 到 j=a[i] 遍历（代表第 i 种花放了 j 盆），最内层的 k 循环是遍历原先的盆数，因为循环是不会重复，此时的状态转移方程直接是 f[i][k+j]=f[i][j+j]+f[i-1][k]。

代码如下：

#include
int a[105],f[105][105];
int main()
{
	int mod=1000007,n,m,i,j,k;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i][0]=1;
	}
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)//遍历第 1种花到第 n种花 
	{
		for(j=0;j<=a[i];j++)//表示第 i种花有 a[i]朵，但是只放 j盆 
		{
			for(k=0;k<=m-j;k++)//原先有 k盆花 
			{
			    //j和 k同时为 0，代表着 n种花装 0盆，因为先前 f[i][0]已经赋值为 1了，此时不需要进行操作
				if(j==0&&k==0) 
				continue;
				f[i][k+j]=(f[i][k+j]+f[i-1][k])%mod; 
			}
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}