算法笔记方法论3 递推法与递归法
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递推算法的特点
一个问题的求解需要大量重复计算，在已知的条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，我们需要找到这种关系，进行计算（递推关系式）。
即递推法的关键，就是找到递推关系式，这种处理方式能够将复杂的计算过程，转化为若干步骤的简单重复运送，充分利用计算机运行程序时的时间局部性和空间局部性。
递推算法的思想：
- 首要问题是先找到各个相邻数据项之间的递推关系；
- 递推关系避开了求通项公式的麻烦，且有些题目的通项公式很难求，或者不能进行求解；
- 将复杂问题分解为若干步骤的简单运算；
- 一般来说递推算法就是一种特殊的迭代算法。
递推算法解题的基本思路：
- 将复杂计算转换为简单重复运算；
- 通过找到递推关系式进行简化运算；
- 利用计算机的特性，减少运行时间。
递推算法的一般步骤：
- 根据题目确定数据项，并找到符合要求的递推关系式；
- 根据递推关系式设计递推程序；
- 根据题目找到递推的终点；
- 单次查询可以不进行存储，多次查询都要进行存储；
- 按要求输出答案即可。
递归算法：
递归算法是一种从自顶向下的算法，实际上是通过不停的直接调用或者间接的调用自身的函数，通过每次改变变量完成多个过程的重复计算，直到到达边界之后，结束调用。
与递推法相似的是，递归与递推都是将一个复杂过程分解为几个简单重复步骤进行计算。
递归算法的实现的核心是分治策略，即分而治之，将复杂过程分解为规模较小的同类问题，通过解决若干个小问题，进而解决整个复杂问题。
递归算法的思想：
- 将复杂计算过程转换为简单重复子过程；
- 找到递归公式，即能够将大问题转化为小问题的公式；
- 自上而下计算，在返回完成递归过程。
递归算法设计的一般步骤：
- 根据题目设计递归函数中的运算部分；
- 根据题目找到递归公式，题目可能会隐含给出，也可能需要自己进行推导；
- 找到递归出口，即递归的终止条件。
递归法的和递推法的思路也给大家讲的差不多了，我们结合真实大赛题目给大家进行讲解。
题目08 斐波那契数列
在一定情况下，同一个问题可以使用用递归也可以使用递推解答。一般一个问题的递推关系和递归关系都好求的话就都可以解题。
当然如果题目只有一个关系好求，那就最好采用关系好求的办法。
题目描述:
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
请求出该数列中第n个数字（n从1开始计数）是多少。
样例:
输入样例
样例1输入
6
样例2输入
4
输出样例
样例1输出
8
样例2输出
3
对于上面的样例我们进行了如下计算；
[0]=0
[1]=1
[2]=0+1
[3]=1+1=2
[4]=1+2=3
[5]=2+3=5
[6]=5+3=8
运行限制:
1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M
递归算法的通用框架如下：
do(a,b,c...)
{
//递归终止条件，即出口
if(a==? ,b==? ,....) return
//递归条件
if(条件1)
do(参数1)
else(条件2)
do(参数2)
}
如本题，各子式间存在计算关系，可以化为：
do(a)
{
if(a==0) return 0;
if(a==1) return 1;
return do(a-1)+do(a-2);
}
代码：
import java.util.Scanner;
public class _08斐波那契数列 {
public static void main(String[] args) {
}
// 递推
static void f1() {
int n; //第几个数
int x=0; //F(n)
int y=1; //F(n+1)
int ans = 0; //F(n+2）
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
if(n==0) ans=0;
else if(n==1) ans=1;
else {
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ans=x+y;
x=y;
y=ans;
}
}
System.out.println(ans);
}
// 递归
static void f2() {
int n; //第几个数
int ans = 0;
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
ans=fn(n);
System.out.println(ans);
}
static int fn(int n)
{
if(n==0)
return 0;
//递归出口2
else if(n==1 )
return 1;
else
return fn(n-1)+fn(n-2); //递归关系式
}
}
存储版递归和递推：
public class Main {
static int []F=new int [35];
static void init() {
F[0]=0;
F[1]=1;
for(int i=2;i<=30;i++) {
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}
}
public static void main(String[] args) {
int m; //m次查询
int n; //第几个数
init();
Scanner in = new Scanner(System.in);
m = in.nextInt();
while(m>0){
m-=1;
n= in.nextInt();
System.out.println(F[n]);
}
}
}
public class Main {
static int []F=new int [35];
static int fn(int n)
{
//递归出口1
if(n==0) {
F[0]=0;
return 0;
}
//递归出口2
else if(n==1 ) {
F[1]=1;
return 1;
} else {
F[n]=fn(n-1)+fn(n-2);
return F[n]; //递归关系式
}
}
public static void main(String[] args) {
int m; //m次查询
int n; //第几个数
fn(30);
Scanner in = new Scanner(System.in);
m = in.nextInt();
while(m>0){
m-=1;
n= in.nextInt();
System.out.println(F[n]);
}
}
}
题目09 数字三角形
题目描述:
如图数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
1. 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
2. 三角形行数小于等于 100；
3. 三角形中的数字为 0，1，…，99；
测试数据通过键盘逐行输入。
如上例数据应以样例所示格式输入：
样例:
输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出：
30
运行限制:
1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M
代码：
import java.util.Scanner;
public class _09数字三角形 {
static int [][]a=new int [101][101];
public static void main(String[] args) {
int n;
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
//输入数字三角形的值
for (int i=1; i<=n; i++) {
for (int j=1; j<=i; j++) {
a[i][j]=in.nextInt(); //输入原始数据
}
}
//递推开始
for (int i=n-1; i>=1; i--) {//从最后一层逆推
for (int j=1; j<=i; j++) {
a[i][j] += Math.max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]); //路径选择
}
}
System.out.println(a[1][1]);
}
}
笔记来源：蓝桥杯省赛冲刺课程