acwing蓝桥杯 - 数学知识【下】

 目录

欧拉函数

快速幂

求组合数 I

博弈论

        Nim游戏

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欧拉函数

 在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，记作φ(n).  φ(1)=1

1、分解质因子，求出质因子p

2、将p带入，套公式

为了代码方便，套第三个公式

#include 

using namespace std;


int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            //欧拉计算公式，等价于res*=(1-1/p),防止小数导致精度丢失
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }

    return 0;
}

 补充：

若a与m互质 ，则有

快速幂

 大佬算法讲解：

 举个栗子：

 

如上例所示：

利用a取平方操作，构建k的2的次幂和

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

int quick_pow(int a, int k, int p)//二进制优化
{
    int res = 1 % p;//表示取模总值
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;//相乘等价于a的次幂相加,使得k=2的次幂和
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;//使k进制进一位
    }
    return res;
}

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, k, p;
        cin >> a >> k >> p;
        cout << quick_pow(a, k, p) << endl;
    }
    return 0;
}

求组合数 I

 

如上公式：从a个苹果里选b个的选法=包含红苹果的选法+不包含红苹果的选法；

包含：除去必选的红苹果，就是在a-1个苹果里选b-1个的选法

不包含：直接丢掉红苹果，在a-1个苹果里选b个 

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 2010, mod = 1e9 + 7;

int c[N][N];

void init()//预处理
{
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;//i==0时j必等于0,初始化c[0][0]
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;//套公式
}

int main()
{
    int n;
    init();

    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        printf("%d\n", c[a][b]);
    }
    return 0;
}

博弈论

Nim游戏

结论： 

先手必败状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0
先手必胜状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an ≠ 0

1、若处于 先手必败状态，则无论怎么操作，之后都会变成先手必胜状态

2、若处于 先手必胜状态，则必有一次操作能使得状态变为先手必败状态

记忆：

当所有值相同，如剩下2 2两堆，先手无论怎么操作，后手只需要做镜像操作即可胜利；记忆特殊情况，当所有值相同，则a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0，则先手必败

#include 
#include 
using namespace std;

/*
先手必胜状态：先手操作完，可以走到某一个必败状态
先手必败状态：先手操作完，走不到任何一个必败状态
先手必败状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an = 0
先手必胜状态：a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^an ≠ 0
*/

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if(res == 0) puts("No");
    else puts("Yes");
}