“强智杯“2020年湖南省大学生计算机程序设计竞赛（C题）

vp 出了7个题，死活想不出C，哎脑子还是不够用。

比赛链接：强智杯"2020年湖南省大学生计算机程序设计竞赛

C Absolute Difference Equation

题意

对于一个长度为 $n$ 的 $0/1$ 字符串 $a$，一次操作为 $f(a)=b_1,b_2,\dots ,b_{n-1}$。其中 $b_i=|a_i-a_{i+1}|$。
对于一个给定的 $0/1$ 字符串，某些位上为 $?$，可以任意填 $0/1$，求经过 $n-1$ 次操作后剩下的唯一的数为 $1$ 的初始数组的方案数。

题解

对于题目中的 $b_i=|a_i-a_{i+1}|$，可以视为 $b_i=a_i⨁a_{i+1}$。
观察长度为 $1,2,3,4$ 的 $0/1$ 串经过 $n-1$ 次操作后的数的结果。

$n=1$ 时，$n-1$ 次操作后剩下的数为 $a_1$。

$n=2$时，$n-1$ 次操作后剩下的数位 $a_1⨁a_2$

$n=3$ 时，
第一次操作后 $a^{\prime }=a_1⨁a_2,a_2⨁a_3$。
第二次操作后 $a^{\prime \prime }=a_1⨁a_2⨁a_2⨁a_3$。

$n=4$ 时，
第一次操作后 $a^{\prime }=a_1⨁a_2,a_2⨁a_3,a_3⨁a_4$。
第 $n-1$ 次操作后 $a^{\prime \prime \prime }=a_1⨁a_2⨁a_2⨁a_3⨁a_2⨁a_3⨁a_3⨁a_4$。

计算一下每个位置的数出现在最终的数里的次数，
$n=1$，$1$
$n=2$，$11$
$n=3$，$121$
$n=4$，$1331$

于是我们就发现，每个位置上的数在最终的表达式里出现的次数恰好和杨辉三角相同，也就是组合数学。

对于最终的答案是否为 $1$，我们只需要判断每个 $1$ 出现在最终表达式中的次数之和的奇偶就行了。

这里给出组合数学奇偶性判断的结论：
对于 $C(n,m)$，若 $n$ & $m=m$，则为奇数，否则为偶数。

于是我们就可以愉快的进行DP方程转移了，具体见代码及注释。

代码

#include 
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;

char s[N];
int f[N][2][2]; // f[i][j][k]: 第 i 位为 0/1 且 前i个数中 1 出现在最终表达式中的个数为 0/1 的方案数

bool get(int n, int m){ // 判断组合数奇偶性
    return ((n & m) == m);
}
void solve(){
    int n = strlen(s + 1);
    
    for(int i = 0; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j < 2; j ++){
            for(int k = 0; k < 2; k ++) f[i][j][k] = 0;
        }
    }

    f[0][0][0] = 1;
    for(int i = 1; s[i]; i ++){
        int odev = get(n - 1, i - 1);

        // 当前为1或由？变成1，若当前位出现的次数为奇数，那么就能改变前i个的奇偶性，0 -> 1，1 -> 0，否则只能直接转移
        if(s[i] == '1' || s[i] == '?'){ 
            f[i][1][1] = (f[i - 1][1][odev ^ 1] + f[i - 1][0][odev ^ 1]) % mod;
            f[i][1][0] = (f[i - 1][1][odev ^ 0] + f[i - 1][0][odev ^ 0]) % mod;
        }

        // 当前为0或由？变成0，因为当前是0所以出现在最终表达式中的次数不影响结果，直接转移 0 -> 0，1 -> 1
        if(s[i] == '0' || s[i] == '?'){
            f[i][0][1] = (f[i - 1][1][1] + f[i - 1][0][1]) % mod;
            f[i][0][0] = (f[i - 1][1][0] + f[i - 1][0][0]) % mod;
        }
    }
    cout << (f[n][1][1] + f[n][0][1]) % mod << "\n"; // 最终为1的答案之和
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    while(cin >> (s + 1)){
        solve();
    }
    return 0;
}