509. 斐波那契数、爬楼梯、使用最小的力气爬楼梯-代码随想录

动态规划基础：

定义：动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

过程：对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

解题范围:

        1.背包问题

        2.打家劫舍

        3.股票问题

        4.子序列问题

509. 斐波那契数

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斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

• 输入：2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入：3
• 输出：2
• 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

思路：动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 -----------F(1)--F(n)的值
2. 确定递推公式-------------F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
3. dp数组如何初始化----------------F(1) = 1、F(0) = 0
4. 确定遍历顺序-------------从前到后
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        vector dp(N + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[N];
    }
};

JAVA：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int a = 0, b = 1, c = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}

70. 爬楼梯

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

• 输入： 2
• 输出： 2
• 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
  • 1 阶 + 1 阶
  • 2 阶

示例 2：

• 输入： 3
• 输出： 3
• 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
  • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  • 1 阶 + 2 阶
  • 2 阶 + 1 阶

 

这不就是斐波那契数列。唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义！

思路：动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 -----------F(1)--F(n)的值
2. 确定递推公式-------------F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
3. dp数组如何初始化---------------- F(2) = 2 、F(1) = 1
4. 确定遍历顺序-------------从前到后
5. 举例推导dp数组

746. 使用最小花费爬楼梯

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旧题目描述：

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。（这里指出了初始化）

示例 1：

• 输入：cost = [10, 15, 20]
• 输出：15
• 解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。

示例 2：

• 输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
• 输出：6
• 解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。

思路：动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 -----------到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2. 确定递推公式-------------dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3. dp数组如何初始化---------------- dp[0] = 0，dp[1] = 0
4. 确定遍历顺序-------------从前到后
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
        vector dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

JAVA：

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];

        // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始，因此支付费用为0
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;

        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }

        return dp[len];
    }