通信中的分式规划规划（part I)——功率控制、Beamforming、能量效率

《Fractional Programming for Communication Systems—Part I: Power Control and Beamforming》
本文地址：https://arxiv.org/abs/1802.10192

前言

该文章为对上述论文的阅读笔记，一点戳见，不吝赐教。

FP背景

FP是一类包含比例项的优化问题，经济学、管理学、信息科学、光学、图论和计算机科学等广泛领域都对它进行了广泛的研究。
本文档是目的是将FP的应用扩展到通信系统设计中更广泛的优化问题，特别是功率控制、波束形成和用户调度等通常不能直接用比例形式表示的优化问题。

通常关注的是数据速率计算为$\text{log}(1+\text{SINR})$的通信系统，SINR表示的是信干噪比（signal-to-interference-plus-noise ratio）。SINR在通信系统中的突出作用使得FP是网络设计和优化的宝贵工具，整个讨论集中在无线蜂窝网络，但它可以很容易地适应许多其他网络(例如，光网络或数字用户线路)。

• 为何依然要研究FP问题在无线蜂窝网络的应用？

尽管存在大多数关于FP的工作，但大多数工作是针对的单比问题（single-ratio）问题。而少数研究多比问题的工作（mltiple-ratio）的工作，它们又被限定在特定的形式（如，max-min问题）。而对于系统级通信网络设计，通常不得不应对多比问题，因为整个系统的性能通常是来自多个干扰链路的多个分数阶参数(如SINRs)的函数。求解多比的FP问题，是一个NP-hard问题，找到一个全局最优解十分耗费时间，甚至不可承担。对于求多比问题的驻点解，已知的方法只有连续凸逼近等通用方法。因此研究针对多比问题的FP十分有意义。

FP问题形式

给定一个非空约束集合（$d\in \mathbb{N}$，即：$d$为严格的正整数）：$\mathcal{X}\subseteq {\mathbb{R}}^d$，一个非负函数：$A(\mathbf{x}):{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}_{+}$,一个正函数：$B(\mathbf{x}):{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}_{++}$，一个单比问题（maximizing）可以表示为:

$$\begin{array}{ll}\underset{\mathrm{x}}{\mathrm{maximize}}& \frac{A(\mathrm{x})}{B(\mathrm{x})}\\ \text{ subject to }& \mathrm{x}\in \mathcal{X}\end{array}$$

上述的单比问题通常是非凸的。传统的FP方法通常是把该单比形式转化为分子分母解耦的形式，联合优化$A(\mathbf{x})$和$B(\mathbf{x})$，特别是对于：$A(\mathbf{x})$为凸函数，$B(\mathbf{x})$为凹函数，$\mathcal{X}$为凸集的形式，称为concave-convex FP问题。

经典的FP技术

1.Charnes-Cooper Transform

引入一个新的变量：
$$z=\frac{1}{B(\mathrm{x})}and\mathbf{q}=\frac{\mathbf{x}}{B(\mathbf{x})}$$
单比问题变为：
$$\begin{array}{ll}\underset{z,\mathbf{q}}{\mathrm{maximize}}& zA\left(\frac{\mathbf{q}}{z}\right)\\ \text{ subject to }& zB\left(\frac{\mathbf{q}}{z}\right)\le 1\\ & z\in \mathcal{Z}\\ & \mathbf{q}\in \mathcal{Q}\end{array}$$

其中，$\mathcal{Z}$和$\mathcal{Q}$分别是$z$和$\mathbf{q}$的范围，且$\mathrm{x}\in \mathcal{X}$原始的解$\mathbf{x}$可以由$z$和$\mathbf{q}$恢复。

注意，这种方法通过将$B(\mathbf{x})$移动到约束$zB\left(\frac{\mathbf{q}}{z}\right)\le 1$，而将$A(\mathbf{x})$留在目标中来解耦分母和分子。如果原始问题是concave-convex FP问题，那么通过该转换构造的凸问题可以被很好的解决。

针对Charnes-Cooper Transform需要注意的两个点：

• 引入了额外的约束
• $\mathcal{Z}$和$\mathcal{Q}$需要表征出来，这可能不容易做到

该方法对于单比问题可以很好的解决，对于oncave-convex 单比FP问题事实上还能够收敛到全局最优。但拓展到多比问题（sum-of-ratios 问题）是十分困难的。

2.Dinkelbach’s Transform

该方法将单比问题转化为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathrm{x}}{\mathrm{maximize}}& A(\mathrm{x})-yB(\mathrm{x})\\ \text{ subject to }& \mathrm{x}\in \mathcal{X}\end{array}$$

用一个新的辅助变量$y$进行迭代更新，具体表示为：
$$y[t+1]=\frac{A(\mathbf{x}[t])}{B(\mathbf{x}[t])}$$
其中，$t$是迭代的index。可以证明，通过交替更新$y$和求解转换后的单比问题中的$\mathbf{x}$可以证明收敛性是有保证的，因为y在每次迭代后都是非递减的。

该方法同样对于单比问题可以很好的解决，对于concave-convex 单比FP问题，固定$y$优化$\mathbf{x}$是一个凸问题，其能够收敛到原始单比问题的全局最优。

Dinkelbach’s Transform相较于Charnes-Cooper Transform没有额外的约束被引入。

一种新的变换方法：二次变换(Quadratic Transform)

利用这种二次变换，希望新的函数有一些性质：

• C1(Decoupling)：新的目标函数具有如下的形式：$g(\mathbf{x},y)=f(A(\mathbf{x}))q_1(y)+h(B(\mathbf{x}))q_2(y)$。
• C2(Equivalent Solution)：当且仅当${\mathbf{x}}^{\star }$和$y^{\star }$最大化$g(\mathbf{x},y)$时，${\mathbf{x}}^{\star }$最大化$A(\mathbf{x})/B(\mathbf{x})$。
• C3(Equivalent Objective)：对于某个$\mathbf{x}$，让$y^{\star }=\arg {\max }_{y}g(\mathbf{x},y)$，然后对于该$\mathbf{x}$有$g\left(\mathbf{x},y^{\star }\right)=A(\mathbf{x})/B(\mathbf{x})$。
• C4(Concavity)：对于固定的$\mathbf{x}$，$g(\mathbf{x},y)$关于$y$是凹的，即：${\partial }^{2}g/\partial y^2\le 0$

理论1(Quadratic Transform)

二次转换：
$$g(\mathrm{x},y)=2y\sqrt{A(\mathrm{x})}-y^{2}B(\mathrm{x})$$
满足：C1-C4。进一步地，如果C4被加强，其要求：${\partial }^{2}g/\partial y^2$是独立于$y$的，则任何一个满足C1-C4的$g(\mathrm{x},y)$必须满足如下形式：
$$g(\mathrm{x},y)=2\left(t_{1}y+t_2\right)\sqrt{A(\mathrm{x})}-{\left(t_{1}y+t_2\right)}^{2}B(\mathrm{x})$$
对于多比FP问题的二次转化：

sum-of-ratios问题表示为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{m=1}^M\frac{A_m(\mathbf{x})}{B_m(\mathbf{x})}\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X}\end{array}$$

注：此时如果强行直接将Dinkelbach’s Transform应用到多比问题，对于原始多比问题是不能够保证等价性的。

应用理论1可以将单比问题很容易的推广到多比问题，并且由于C3的性质可以很好地保证等价性

• 推论1：

sum-of-ratios问题等价于：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x},\mathbf{y}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{m=1}^M\left(2y_m\sqrt{A_m(\mathbf{x})}-y_m^2{B}_m(\mathbf{x})\right)\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X},y_m\in \mathbb{R}\end{array}$$

$\mathbf{y}$表示变量$\left\{y_1,\dots ,y_M\right\}$的集合。

推广为更一般的sum-of-ratios问题和max-min-ratio问题，具体如下：

• 推论2：

给定一个非递减函数，以及一系列的$A_m/B_m$（$m=1,...,M$），sum-of-functions-of-ratio问题可以表示为：
$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{maximize}}_{\mathbf{x}}\sum _{m=1}^M{f}_m\left(\frac{A_m(\mathbf{x})}{B_m(\mathbf{x})}\right)\\ & \text{ subject to }x\in \mathcal{X}\end{array}$$
其等价为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x},\mathbf{y}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{m=1}^M{f}_m\left(2y_m\sqrt{A_m(\mathbf{x})}-y_m^2{B}_m(\mathbf{x})\right)\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X},y_m\in \mathbb{R},m=1,\dots ,M\end{array}$$

• 推论3：
  给定一系列的$A_m/B_m$（$m=1,...,M$）,max-min-ratio问题可以表示为：
  $$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x}}{\mathrm{maximize}}& {\min }_m\left\{\frac{A_m(\mathbf{x})}{B_m(\mathbf{x})}\right\}\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X}\end{array}$$
  其等价为：
  $$\begin{array}{ll}\underset{\mathrm{x},\mathrm{y},z}{\mathrm{maximize}}& z\\ \text{ subject to }& \mathrm{x}\in \mathcal{X},y_m\in \mathbb{R},z\in \mathbb{R}\\ & 2y_m\sqrt{A_m(\mathrm{x})}-y_m^2{B}_m(\mathrm{x})\ge z,\forall m\end{array}$$

证明思路：首先将原问题写为最大化$z$约束条件为：$x\in \mathcal{X}$和$z\le A_m(\mathbf{x})/B_m(\mathbf{x})$。根据C3，最后一个约束条件可以写为：$z\le {\max }_{y_m}\left(2y_m\sqrt{A_m(\mathbf{x})}-y_m^2{B}_m(\mathbf{x})\right)$,由于这个新的约束是一个less-than-max不等式，那么${\max }_{y_m}$可以退化为${\max }_{\mathbf{x},\mathbf{y}}$

C3在等价问题转化中扮演了一个重要的角色！

理论2(多维Quadratic Transform)

进一步考虑分子为向量，分母为矩阵的多维复数情况下的FP。这类FP是在处理多天线通信系统时产生的。考虑一系列函数：${\mathbf{a}}_m(\mathbf{x}):{\mathbb{C}}^{d_1}\to {\mathbb{C}}^{d_2}$和${\mathbf{B}}_m(\mathbf{x}):{\mathbb{C}}^{d_1}\to {\mathbf{S}}_{++}^{d_2\times d_2}$（$m=1,...,M$），约束集为：$\mathcal{X}\subseteq {\mathbb{C}}^{d_1}$且$d_1,d_2\in \mathbb{N}$，多维单比FP问题定义为：
$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathbf{x}}{\mathrm{maximize}}\sum _{m=1}^M{\mathbf{a}}_m^{†}(\mathbf{x}){\mathbf{B}}_m^{-1}(\mathbf{x}){\mathbf{a}}_m(\mathbf{x})\\ & \text{ subject to }x\in \mathcal{X}\end{array}$$
该问题等价为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x},\mathbf{y}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{m=1}^M\left(2\mathrm{Re}\left\{{\mathbf{y}}_m^{†}{\mathbf{a}}_m(\mathbf{x})\right\}-{\mathbf{y}}_m^{†}{\mathbf{B}}_m(\mathbf{x}){\mathbf{y}}_m\right)\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X},{\mathbf{y}}_m\in {\mathbb{C}}^{d_2}\end{array}$$
$\mathbf{y}$表示变量$\left\{y_1,\dots ,y_M\right\}$的集合。

简单的证明思路：将新的等价问题重新表示为${\mathbf{y}}_m^{†}{\mathbf{a}}_m+{\mathbf{a}}_m^{†}{\mathbf{y}}_m-{\mathbf{y}}_m^{†}{\mathbf{B}}_m{\mathbf{y}}_m$，进一步可以写为：${\mathbf{a}}_m^{†}{\mathbf{B}}_m^{-1}{\mathbf{a}}_m-\left({\mathbf{y}}_m^{†}-{\mathbf{a}}_m^{†}{\mathbf{B}}_m^{-1}\right){\mathbf{B}}_m\left({\mathbf{y}}_m-{\mathbf{B}}_m^{-1}{\mathbf{a}}_m\right)$（原文有笔误！），可以很容易的看出其最优解为${\mathbf{y}}_{m_1}^{\star }={\mathbf{B}}_m^{-1}(\mathbf{x}){\mathbf{a}}_m(\mathbf{x})$，此时其最优值恰好就是${\mathbf{a}}_m^{†}{\mathbf{B}}_m^{-1}{\mathbf{a}}_m$，因此等价性被建立。

对于Concave-Convex FP问题的迭代优化：

之前讨论是假设分子非负，分母为正，现在讨论特殊类型的Concave-Convex FP问题，其在通信系统设计中尤为重要。

满足Concave-Convex FP问题需要如下条件：

• 分母$A_m(\mathrm{x})$均为凹函数
• 分子$B_m(\mathrm{x})$均为凸函数
• 约束集$\mathcal{X}$是由有限个不等式约束表示的标准形式的非空凸集

对于single-ratio concave-convex FP问题，前面的几种转化都可以很好地解决。现在主要关注multiple-ratio concaveconvex FP 问题。为了说明问题，以标量形式为例，同样可以更根据理论2很容易地拓展到多维形式。

考虑sum-of-ratios、sum-of-functions-of-ratio、max-min-ratio问题。同时假设，每个$A_m(\mathrm{x})$是凹的，每个$B_m(\mathrm{x})$是凸的，$\mathcal{X}$是具有标准形式的凸集。假设函数$f_m(\cdot )$是非递减的。应用二次转换，交替迭代优化原始变量$B_m(\mathrm{x})$和辅助变量$y_m$。

当$\mathrm{x}$固定时，最优$y_m$存在闭式解：
$$y_m^{\star }=\frac{\sqrt{A_m(\mathrm{x})}}{B_m(\mathrm{x})},\forall m=1,\dots ,M$$
当$y_m$固定时，由于每个$A_m(\mathrm{x})$的凹性，每个$B_m(\mathrm{x})$的凸性，以及平方根函数是凹的并且是递增的，二次变化函数：
$$g\left(\mathrm{x},y_m\right)=2y_m\sqrt{A_m(\mathrm{x})}-y_m^2{B}_m(\mathrm{x})$$
对于固定$y_m$时的$\mathrm{x}$是凸的。进一步，由于$f_m(\cdot )$是凸的且非递减，因此$f_m\left(g\left(\mathbf{x},y_m\right)\right)$对于$\mathrm{x}$是凸的。因此，通过数值凸优化可以有效地得到最优$\mathrm{x}$。

整个算法总结为：

算法1是能够保证concave-convex FP收敛到一个驻点的。

理论3：收敛性证明（驻点）

对于concave-convex sum-of-functions-of-ratio问题，即：每个$A_m(\mathrm{x})$是凹的，每个$B_m(\mathrm{x})$是凸的，$\mathcal{X}$是具有标准形式的凸集，函数$f_m(\cdot )$是非递减的凸函数。算法1包含了一些列的凸优化问题，其可以收敛到原始sum-of-functions-of-ratio问题的一个驻点，且每次迭代的都是非减的。

证明：算法1本质上是重新表述问题的块坐标上升算法（block coordinate ascent algorithm）,因此其可以收敛到二次转换后的函数的一个驻点。由于解的等价性（C2）和目标函数值的等价性（C3），在最优${\mathbf{y}}^{\star }$下，二次问题和原始的问题是等价的。因此，算法能够收敛到原始问题的一个驻点，而C3则又保证了sum-of-functions-of-ratio 的值是非递减的。

文中证明了：关于可微$A(\mathbf{x})，B(\mathbf{x})$的单比问题和max-min-ratio concave-convex FP问题，算法1是可以收敛到一个全局最优。

• 关于收敛速度

文中给了一个具体的单比问题，
$$\begin{array}{cl}\underset{x}{\mathrm{maximize}}& \frac{x}{x^2+1}\\ \text{ subject to }& x\ge 0\end{array}$$
收敛速度，以${\lim }_{t\to \infty }\frac{|y^{\star }-y_{t+1}|}{|y^{\star }-y_t|}$进行衡量。
对于该例子，最后计算发现算法1的收敛速度是慢于Dinkelbach’s transform的。

虽然传统的Dinkelbach变换比二次变换具有更快的收敛速度，但前者的应用仅限于单比问题，而后者可以处理多比问题。

金句：
For multiple-ratio FP problems where global convergence is not guaranteed, slower convergence can sometime be advantageous as it allows the algorithm to more fully explore the solution space.

功率控制问题：

考虑一个带有一组单天线基站(BSs)$\mathcal{B}$的下行SISO蜂窝网络。具体参数：

• $h_{i,j}\in \mathbb{C}$：第$j$个BS到第$i$个用户的下行信道
• ${\sigma }^2$：高斯白噪声
• $p_i$：第$i$个BS的发射功率水平，受限于$P_{\max }$。

则，第$i$用户的下行速率可以表示为：
$$R_i=\log \left(1+\frac{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}{{\sum }_{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}\right)$$

考虑weighted sum rate:
$$f_o(\mathbf{p})=\sum _{i\in \mathcal{B}}{w}_i{R}_i$$
其中$w_i$代表第$i$个BS-user下行链路的优先权，$\mathbf{p}$表示集合${\left\{p_i\right\}}_{i\in \mathcal{B}}$。整个功率控制问题可以表示为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{p}}{\mathrm{maximize}}& f_o(\mathbf{p})\\ \text{ subject to }& 0\le p_i\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B},(30)\end{array}$$

住：该问题非凸十分难以结局，可以使用用多块近似方法得到全局解，但不是多项式时间。此外，当所有的SINR都足够高，使得$\log (1+\mathrm{SINR})$可以近似为$\log (\mathrm{SINR})$时，该问题可以通过几何规划来全局求解。本文的目的是用一种有效的方法找到至少一个驻点。

直接FP方法(Direct FP Approach)

log函数是非凸的且不减的，利用二次转换，其可以表示为如下的问题：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{p},\mathbf{y}}{\mathrm{maximize}}& f_q^{\mathrm{D}\mathrm{I}\mathrm{R}}(\mathbf{p},\mathbf{y})\\ \text{ subject to }& 0\le p_i\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B}\\ & y_i\in \mathbb{R},\forall i\in \mathcal{B}\end{array}$$
其中：
$$f_q^{\mathrm{D}\mathrm{I}\mathrm{R}}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum _{i\in \mathcal{B}}{w}_i\log (1+2y_i\sqrt{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}-y_i^2\left(\sum _{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2\right))$$
$y_i$是由每个下行链路$i$的二次变换引入的。

根据算法1，交替优化$y_i$和$p_i$。对于固定的$p_i$，最优$y_i$表示为：
$$y_i^{\star }=\frac{\sqrt{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}}{{\sum }_{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}$$

然后，固定$y_i$寻找最优的$p_i$是一个凸问题，整个功率控制方法可以被总结为算法2。

根据理论3，算法2是可以保证收敛到一个驻点的。

算法2可以很容易的延伸到多波段系统，频段被分为$T$个子频段，用户速率可以被计算为：
$$R_i=\sum _{t=1}^T\frac{1}{T}\log \left(1+\frac{{\left|h_{i,i}^t\right|}^2{p}_i^t}{{\sum }_{j\ne i}{\left|h_{i,j}^t\right|}^2{p}_j^t+{\sigma }^2}\right)$$

$h_{i,j}^t$和$p_j^t$分别代表第$t$个子频段的信道和传输功率水平。整个功率约束表示为：
$$\sum _{t=1}^T{p}_i^t\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B},p_i^t\ge 0,\forall i\in \mathcal{B},t=1,\dots ,T$$
要修改算法2以在这个多波段场景中工作：步骤1保持不变；步骤2通过解决凸问题更新$p$。

功率控制的直接FP方法可以适应无线网络中一般速率效用函数的最大化。

• 一般效用最大化
  给定每个用户$i$速率$R_i$的一个不减的凹效用函数$U_i$，总效用最大化问题表示为：
  $$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{p}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{i\in \mathcal{B}}{U}_i\left(R_i\right)\\ \text{ subject to }& 0\le p_i\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B}\end{array}$$
  其等价为：
  $$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{p},\mathbf{y}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{i\in \mathcal{B}}{U}_i\left(Q_i\right)\\ \text{ subject to }& 0\le p_i\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B}\\ & y_i\in \mathbb{R},\forall i\in \mathbb{R}\end{array}$$
  其中：$Q_i=\log \left(1+2y_i\left|h_{i,i}\right|\sqrt{p_i}-y_i^2{\sum }_{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j-y_i^2{\sigma }^2\right)$

进一步的，直接FP方法可以被用于解决最大化最小速率问题

闭式FP方法(Closed-Form FP Approach)

闭式FP的方法是基于拉格朗日对偶重塑问题。这将导致重构的新问题在每次迭代中均是以闭式解执行，而不是用数值方法解决一个凸优化问题。原始的功率问题通过拉格朗日对偶可以等价为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{x},\gamma }{\mathrm{maximize}}& f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}(\mathbf{x},\gamma )\\ \text{ subject to }& \mathbf{x}\in \mathcal{X}\end{array}$$
其中$\gamma$是一系列辅助变量${\left\{{\gamma }_i\right\}}_{i\in \mathcal{B}}$的集合，新的目标函数为：
$$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}(\mathbf{p},\gamma )=\sum _{i\in \mathcal{B}}{w}_i\log \left(1+{\gamma }_i\right)-\sum _{i\in \mathcal{B}}{w}_i{\gamma }_i+\sum _{i\in \mathcal{B}}\frac{w_i\left(1+{\gamma }_i\right){\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}{{\sum }_{j\in \mathcal{B}}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}$$
当$p_i$固定时，最优${\gamma }_i$通过$\partial f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}/\partial {\gamma }_i$置0得到，有：
$${\gamma }_i^{\star }=\frac{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}{{\sum }_{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2},\forall i\in \mathcal{B}，（42）$$
可以看出，最优的${\gamma }_i$等价于BS$i$的下行SINR。当${\gamma }_i$固定时，$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$的最后一项，是一个sum-of-ratio项，其包含了$p_i$的优化。利用二次转换，$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$可以重铸为：

$$f_q^{\mathrm{C}\mathrm{F}}(\mathbf{p},\gamma ,\mathbf{y})=\sum _{i\in \mathcal{B}}2y_i\sqrt{w_i\left(1+{\gamma }_i\right){\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}-\sum _{i\in \mathcal{B}}{y}_i^2\left(\sum _{j\in \mathcal{B}}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2\right)+\mathrm{const}(\gamma )$$
其中，$\mathbf{y}$表示集合${\left\{y_i\right\}}_{i\in \mathcal{B}}$，$\mathrm{const}(\gamma )$表示当$\gamma$时的一些常数项。而$p_i$和$y_i$关于最大化$f_q^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$，均存在闭式解为：
$$p_i^{\star }=\min \left\{P_{\max },\frac{y_i^2{w}_i\left(1+{\gamma }_i\right){\left|h_{i,i}\right|}^2}{{\left({\sum }_{j\in \mathcal{B}}{y}_j^2{\left|h_{j,i}\right|}^2\right)}^2}\right\},\forall i\in \mathcal{B}，（44）$$

$$y_i^{\star }=\frac{\sqrt{w_i\left(1+{\gamma }_i\right){\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}}{{\sum }_{j\in \mathcal{B}}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2},\forall i\in \mathcal{B}，，（45）$$

整个交替迭代更新的步骤可以总结为步骤3。

• 注：不像直接FP方法，整个闭式FP算法并不是传统的块坐标上升，因为优化的目标函数并不是固定的。例如：${\gamma }_i$是针对于$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$优化更新，而$y_i$和$p_i$是针对$f_q^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$优化更新，但是，它依然可以保证收敛到一个驻点。

与固定点迭代的关系

算法3可以解释为一阶条件下的不动点迭代。获得功率控制问题的不动点解等价于找到(30)的一阶条件的解，即：
$$\frac{\partial f_o(\mathbf{p})}{\partial p_i}=0,\forall i\in \mathcal{B},(46)$$
其具体表示为：
$$\frac{1}{p_i}\cdot \underset{T_{1i}(\mathbf{p})}{\frac{w_i{\gamma }_i(\mathbf{p})}{1+{\gamma }_i(\mathbf{p})}}-\underset{T_{2i}(\mathbf{p})}{\sum _{j\ne i}\frac{w_j{\gamma }_i^2(\mathbf{p}){\left|h_{j,i}\right|}^2}{\left(1+{\gamma }_i(\mathbf{p})\right){\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}}=0,(47,作者存在笔误)$$

• 具体推导(注：${\gamma }_i(\mathbf{p})=\frac{{|h_{i,i}|}^2{p}_i}{{\sum }_{j\ne i}{|h_{i,j}|}^2{p}_j+{\sigma }^2}$)：
  $$f_o(\mathbf{p})=\sum _i{w}_i\log \left(1+\frac{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}{\sum _{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}\right)=\underset{f_{o1}}{w_i\log \left(1+\frac{{\left|h_{i,i}\right|}^2{p}_i}{\sum _{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}\right)}+\underset{f_{o2}}{\sum _{j\ne i}{w}_j\log \left(1+\frac{{\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}{\sum _{l\ne j}{\left|h_{j,l}\right|}^2{p}_l+{\sigma }^2}\right)}$$
  $$\frac{\partial f_{o1}}{\partial p_i}=\frac{w_i}{1+\frac{{|h_{i,i}|}^2{p}_i}{\sum _{j\ne i}{|h_{i,j}|}^2{p}_j+{\sigma }^2}}\cdot \frac{{\left|h_{i,i}\right|}^2}{\sum _{j\ne i}{\left|h_{i,j}\right|}^2{p}_j+{\sigma }^2}=\frac{1}{p_i}\frac{w_i{\gamma }_i(\mathbf{p})}{1+{\gamma }_i(\mathbf{p})}$$
  $$\frac{\partial f_{o2}}{\partial p_i}=-\sum _{j\ne i}\frac{w_j}{1+\frac{{|h_{j,j}|}^2{p}_j}{\sum _{l\ne j}{|h_{j,l}|}^2{p}_l+{\sigma }^2}}\cdot \frac{{\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}{{\left(\sum _{l\ne j}{\left|h_{j,l}\right|}^2{p}_l+{\sigma }^2\right)}^2}\cdot {\left|h_{j,i}\right|}^2=-\sum _{j\ne i}\frac{w_j{\gamma }_j^2(\mathbf{p}){\left|h_{j,i}\right|}^2}{(1+{\gamma }_j(\mathbf{p})){\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}$$
  $$\frac{\partial f_o(\mathbf{p})}{\partial p_i}=\frac{\partial f_{o1}}{\partial p_i}+\frac{\partial f_{o1}}{\partial p_i}=\frac{1}{p_i}\frac{w_i{\gamma }_i(\mathbf{p})}{1+{\gamma }_i(\mathbf{p})}-\sum _{j\ne i}\frac{w_j{\gamma }_j^2(\mathbf{p}){\left|h_{j,i}\right|}^2}{(1+{\gamma }_j(\mathbf{p})){\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}$$
  ${\gamma }_i(\mathbf{p})$表示小区$i$的关于$\mathbf{p}$的SINR函数。

为了找到一个满足上述一阶条件条件的功率集合，一个策略是在方程的一边孤立$p_i$，这自动产生一个功率更新方程，如果收敛，将至少实现功率控制问题的一个平稳点。但是，为了保证不动点迭代的收敛性，一般不容易确定(46)左边的哪一部分应该固定，一些文章建议固定$T_{1i}$和$T_{2i}$,并达到如下功率控制的定点方法：
$$p_i[t+1]=\min \left\{P_{\max },\frac{T_{1i}(\mathbf{p}[t])}{T_{2i}(\mathbf{p}[t])}\right\},\forall i\in \mathcal{B}$$

其中index $i$表示迭代次数。然而，这种不动点迭代并不一定收敛。(事实上，有文章证明了当得到的SINR值都足够高时，这种迭代保证收敛。)

对于闭式FP方法，把${\gamma }^{\star }$和${\mathrm{y}}^{\star }$带入到(44)，更新式子(44)也可以看作是功率控制的第一阶条件的不动点迭代，它和(47)非常相似，如下：
$$\frac{1}{\sqrt{p_i}}\cdot \underset{T_{1i}(\mathbf{p})}{\frac{w_i{\gamma }_i(\mathbf{p})}{\sqrt{p_i}}}-\underset{{\tilde{T}}_{2i}(\mathbf{p})}{\sum _j\frac{w_j{\gamma }_i^2(\mathbf{p}){\left|h_{j,i}\right|}^2}{\left(1+{\gamma }_i(\mathbf{p})\right){\left|h_{j,j}\right|}^2{p}_j}}=0.$$
在这种情况下，发射功率变量$p_i$更新变为：
$$p_i[t+1]=\min \left\{P_{\max },{\left(\frac{T_{1i}(\mathbf{p}[t])}{T_{2i}(\mathbf{p}[t])}\right)}^2\right\},\forall i\in \mathcal{B}$$
再加上一个附加的投影步骤到约束集上，经过一些代数运算，可以看到是(44)。因此，算法3的功率控制部分只是一个不动点迭代，但其具有保证收敛性的关键优势。

仿真结果

图3显示了各种功率控制算法在平坦衰落信道中的性能。闭型FP需要最大的迭代次数来收敛，但是它每次迭代的计算量是最低的，因为每次迭代它有闭式解的形式更新。相比之下，SCALE和直接FP都需要在每次迭代中解决一个凸问题。闭式FP的在迭代的基础上，该方法也比牛顿法的复杂度低。闭式FP最快

图4仿真了频率选择性衰落场景，其中带宽分为4个子频带，每个频带调度一个下行用户。由此产生的功率控制不同于平坦衰落情况，因为子带之间存在功率和约束，即：${\sum }_n{p}_i^n\le P_{\max }$。$p_i$`表示BS$i$在第$n$个频段的功率水平。

结论：
基于FP的方法在功率控制方面与最先进的算法具有竞争优势。FP由于其较低的迭代成本而具有较低的总体复杂度。需要注意的是，不同算法的收敛值可能会因起始点的不同而不同，因为在所有情况下只保证平稳收敛。

Beamforming问题

考虑多维FP在波束形成优化问题中的应用。考虑下行一组BSs$\mathcal{B}$的MIMO蜂窝网络。具体参数如下:

• $M$：基站天线数目
• $N$：每个用户天线数目
• ${\mathbf{H}}_{im,j}\in {\mathbb{C}}^{N\times M}$:从BS $j$到在BS $i$的第m个数据流中调度的用户的下行链路信道。
• ${\sigma }^2$：加性高斯白噪声功率水平。
• ${\mathbf{v}}_{im}\in {\mathbb{C}}^M$：BS$i$对于它第$m$个数据流的下行发送波束赋形。

数据流$(i,m)$的速率表示为：
$$R_{im}(\mathbf{V})=\log \left(1+{\mathbf{v}}_{im}^{†}{\mathbf{H}}_{im,i}^{†}{\left({\sigma }^2\mathbf{I}+\sum _{(j,n)\ne (i,m)}{\mathbf{H}}_{im,j}{\mathbf{v}}_{jn}{\mathbf{v}}_{jn}^{†}{\mathbf{H}}_{im,j}^{†}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_{im,i}{\mathbf{v}}_{im}\right)$$
设$w_i$表示表示在BS $i$第$m$个数据流被调度用户的优先级。寻求最大化波束形成矢量的加权和速率问题为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{V}}{\mathrm{maximize}}& {\sum }_{i,m}{w}_{im}{R}_{im}(\mathbf{V})\\ \text{ subject to }& {\sum }_{m=1}^M{\Vert {\mathbf{v}}_{im}\Vert }_2^2\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B}\end{array}$$

多维直接FP方法

引用多维二次转换于每个SINR项，新的问题可以表示为：
$$\begin{array}{ll}\underset{\mathbf{V},\mathbf{Y}}{\mathrm{maximize}}& f_q^{\mathrm{D}\mathrm{I}\mathrm{R}}(\mathbf{V},\mathbf{Y})\\ \text{ subject to }& {\sum }_{m=1}^M{\Vert {\mathbf{v}}_{im}\Vert }_2^2\le P_{\max },\forall i\in \mathcal{B}\\ & {\mathbf{y}}_{im}\in {\mathbb{C}}^N,(52)\end{array}$$
其中：
$$f_q^{\mathrm{D}\mathrm{I}\mathrm{R}}(\mathbf{V},\mathbf{Y})=\sum _{(i,m)}{w}_{im}\log \left(1+2\mathrm{Re}\left\{{\mathbf{y}}_{im}^{†}{\mathbf{H}}_{im,i}{\mathbf{v}}_{im}\right\}-{\mathbf{y}}_{im}^{†}\left({\sigma }^2\mathbf{I}+\sum _{(j,n)\ne (i,m)}{\mathbf{H}}_{im,j}{\mathbf{v}}_{jn}{\mathbf{v}}_{jn}^{†}{\mathbf{H}}_{im,j}^{†}\right){\mathbf{y}}_{im}\right)$$
$ \mathbf{Y}$表示为每个数据流$(i,m)$辅助变量集合$\left{\mathbf{y}{i m}\right}$（$\mathbf{y}{i m} \in \mathbb{C}^{N}$）。

解耦后的函数对于${\mathbf{v}}_{im}$是一个凹函数，由于log函数不减凹的函数，新的优化问题对于${\mathbf{y}}_{im}$固定时的${\mathbf{v}}_{im}$是一个凸问题。

应用算法1在${\mathbf{y}}_{im}$和${\mathbf{v}}_{im}$之间交替迭代，当${\mathbf{v}}_{im}$固定时最优${\mathbf{y}}_{im}$表示为：
$${\mathbf{y}}_{im}^{\star }={\left({\sigma }^2\mathbf{I}+\sum _{(j,n)\ne (i,m)}{\mathbf{H}}_{im,j}{\mathbf{v}}_{jn}{\mathbf{v}}_{jn}^{†}{\mathbf{H}}_{im,j}^{†}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_{im,i}{\mathbf{v}}_{im}$$

对于固定的${\mathbf{y}}_{im}$，最优${\mathbf{v}}_{im}$可以通过凸优化得到。整个交替迭代更具理论3是可以收敛到一个驻点的。整个算法4总结如下：

多维闭式FP方法

应用拉格朗日对偶转换，原问题可以表示为$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}(\mathbf{V},\gamma )$：
$$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}(\mathbf{V},\gamma )=\sum _{(i,m)}{w}_{im}\left(\log \left(1+{\gamma }_{im}\right)-{\gamma }_{im}+\left(1+{\gamma }_{im}\right){\mathbf{v}}_{im}^{†}{\mathbf{H}}_{im,i}^{†}{\left({\sigma }^2\mathbf{I}+\sum _{(j,n)}{\mathbf{H}}_{im,j}{\mathbf{v}}_{jn}{\mathbf{v}}_{jn}^{†}{\mathbf{H}}_{im,j}^{†}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_{im,i}{\mathbf{v}}_{im}\right)$$
其中$\gamma$为$\left\{{\gamma }_{im}\right\}$`集合。

固定${\mathbf{v}}_{im}$，最优$\gamma$通过$\partial f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}/\partial {\gamma }_{im}$求导置0而得，其表示为：
$${\gamma }_{im}^{\star }={\mathbf{v}}_{im}^{†}{\mathbf{H}}_{im,i}^{†}{\left({\sigma }^2\mathbf{I}+\sum _{(j,n)\ne (i,m)}{\mathbf{H}}_{im,j}{\mathbf{v}}_{jn}{\mathbf{v}}_{jn}^{†}{\mathbf{H}}_{im,j}^{†}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_{im,i}{\mathbf{v}}_{im}$$
应用理论2对$f_r^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$进行多维二次转换得到$f_q^{\mathrm{C}\mathrm{F}}$，表示为：