最小二乘拟合方法、示例及Matlab代码

基本定义的叙述这里笔者给出网址，读者可自行点击前往阅读。
最小二乘法https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%B3%95
最小二乘估计法https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E6%B3%95
最小二乘拟合https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%B3%95/2522346?fromtitle=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%8B%9F%E5%90%88&fromid=6260453

一般线性最小二乘拟合方法

接下来最小二乘实现的数学知识保证：

题目：我们要研究水流量和含沙量的关系，从实验数据中看出，含沙量随着水流量的增加而增加，随着水流量减少而减少。在经过画图比对后，我们决定拟合三次多项式的系数。具体数据如表：

话不多说，看matlab代码：

x=[1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720];
y=[32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115];
[~,k]=size(x);
n=3;
X0=zeros(n+1,k);
for k0=1:k           %构造矩阵X0
    for n0=1:n+1
        X0(n0,k0)=x(k0)^(n+1-n0);
    end
end
X=X0';
ANSS=(X'*X)\X'*y';
x0=x;
y0=ANSS(1)*x0.^n    ;%根据求得的系数初始化并构造多项式方程
for num=2:1:n+1
    y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);
end
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x0,y0)

拟合结果及系数：

非线性最小二乘拟合方法

假设多元函数y=f是非线性的函数，类似于一般线性最小二乘的拟合方法得出目标函数，使其达到最小值。这类问题属于无约束的最优化问题，一般问题的求解是很复杂的，通常情况下采用共轭梯度法、最速下降法、拟牛顿法和变尺度等方法来求解，另外也可以使用一些智能算法来求解较好的值，具体大家可以参看我的智能算法的专题blog。