2019-03-12（看汤家凤高数基础部分：极限与连续+导数与微分）

首先需要对极限与连续之间的

存在极限的定义：

1.f(x) 

2.x0去心领域内有定义

3.常数A

4.存在任意的E

5.总存在无限接近x0  函数 与A相减的绝对值 小于 E  

6.这个常数A就是f(x)在x0处的极限

如何证明函数存在极限：x0左右极限均存在且相等 《=》 函数在x0处存在极限

极限的性质：

极限存在那必须唯一 、极限具有保号性

如何证明函数有界：

方法一：1、需要证明函数单调 2、需要证明函数单调递增或者递减之后有极

方法二：夹逼定理（分子分母不同级别）

方法三：使用定积分的定义

使用 无穷小 、洛必达求极限

极限里面有几种类型的题型：

０／０：向等价无穷小　＋　洛必达　＋　麦克劳林　方向去想

基本习惯性的转化思想：

对于　Ｕ＾Ｘ　首先需要想的　是　ｅ＾（ｖ＊ｕ）；

ｌｎ（　　）　　：　　ｌｎ（１＋△）∽　△

（　　）－　１　　：ｅ△　－１　＝　△；

ｘ　－　ｌｎ（１＋ｘ）　二阶无穷小

ｘ，ａｒｃｔａｎｘ　，ａｒｃｓｉｎｘ　，ｓｉｎｘ，ｔａｎｘ　任意两个相减的是三阶无穷小

函数某点 X0 处连续

x0 左极限等于有极限等于 f(X0)的值

介值定理：

前提是  自变量闭区间  闭区间如果连续 必定存在最大最小值[m,M]，在函数值得最大最小值区间[m,M]内,必定能找到函数相对应的自变量的值。

零点定理：

如果自变量是开区间连续：就是对应使用零点定理

两种间断点：

第一类间断点：可去 跳跃 （存在左右极限 相等为可去 、你想等的为跳跃 ）

 第二类间断点：（左右极限有有一个不存在）

可导与可微：

二者之间的相互证明推导:

首先需要知道可导函数与可微函数的定义：

已知可导函数 = 》 △ｙ　／△ｘ　＝　ｆ＇（ｘ）；

可微函数　＝》　能够将增量表达表示成为　△ｙ　＝　Ａ△Ｘ＋　ｏ（Ｘ）作则说明函数可微　；此处为高阶无穷小；

表示成为：Ａ△Ｘ　＝　ｄｙ　｜ｘ＝ｘ０；

可导函数 = 》 可微函数

1. △ｙ　／△ｘ　＝　ｆ＇（ｘ）　＋　∂（∂－＞０）＆＆（△Ｘ－＞０）；

2.△ｙ　＝　ｆ＇（ｘ）△Ｘ　＋　∂△Ｘ　这里重点需要证明　∂△Ｘ　为高阶无穷小

因为：∂△ｘ　／　△ｘ　＝　０；　所以：∂△ｘ　＝　ｏ（△ｘ）

证明完；

可微证明可导：
△ｙ　＝Ａ△ｘ＋ｏ（△Ｘ）

 因为：△ｙ　／△ｘ　＝　Ａ　；存在极限　Ａ　则可导；（左极限　＝　右极限）（左导　＝　右导）

所以：Ｆ（ｘ）　在　Ｘ０处可导．．．（Ａ为常数同时为导数）