希尔伯特变换公式:
x ^ ( t ) = H [ x ( t ) ] = x ( t ) ∗ 1 π t \hat x(t)=\mathcal{H}[x(t)]=x(t)*\frac{1}{\pi t} x^(t)=H[x(t)]=x(t)∗πt1
也就是说,信号的希尔伯特变换就是把它经过一个冲激响应 h ( t ) = 1 π t h(t)=\frac{1}{\pi t} h(t)=πt1的LTI线性时不变系统得到的输出,此系统的频率响应:
H ( j w ) = − j s g n ( w ) = { − j , w > 0 j , w < 0 H(jw)=-jsgn(w)=\left\{ \begin{aligned} -j,w>0\\ j,w<0 \end{aligned} \right. H(jw)=−jsgn(w)={−j,w>0j,w<0
so,显然,如下图,它的幅频特性全为1,是一个全通滤波器。
而对于相位,对于正频,它相移 − π 2 -\frac \pi 2 −2π,( e − j π 2 = − j e^{-j\frac \pi 2}=-j e−j2π=−j);
对于负频率部分,相移 π 2 \frac \pi 2 2π。
画图代码:
clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
i=sqrt(-1);
h=-i*sign(w);
figure,
subplot(211)
plot(w,abs(h));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('Hilbert滤波器的幅频响应'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(h));
axis([-2*pi 2*pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('Hilbert滤波器的相频响应'),grid on
对比无失真系统的频率响应,可知这个系统是有失真的,会通过相移引入新的频率成分。
无失真系统的输入输出关系必须是 r ( t ) = K s ( t − t 0 ) r(t)=Ks(t-t0) r(t)=Ks(t−t0),其中 s ( t ) s(t) s(t)是输入, r ( t ) r(t) r(t)是输出,无失真即只能对输入有时延和幅度缩放,根据傅里叶变换求得系统响应 H ( j w ) = K e − j w t 0 H(jw)=Ke^{-jwt_0} H(jw)=Ke−jwt0
clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
j=sqrt(-1);K=1;t0=1;
H=K*exp(-j*w*t0);
subplot(211)
plot(w,abs(H));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('无失真传输系统的幅频响应 K=1;t0=1;'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(H));
axis([-pi pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('无失真传输系统的相频响应 K=1;t0=1;'),grid on
逆变换
因为 − H ( j w ) H ( j w ) = − j 2 s g n 2 ( w ) = 1 -H(jw)H(jw)=-j^2sgn^2(w)=1 −H(jw)H(jw)=−j2sgn2(w)=1
所以
H − 1 [ ] = − H [ ] \mathcal H^{-1}[ \quad]=-\mathcal H[\quad] H−1[]=−H[]
所以输入信号s(t)卷上 1 π t \frac{1}{\pi t} πt1,得到希尔伯特变换;再卷上 − 1 π t -\frac{1}{\pi t} −πt1,就又得到了s(t).
它是 − 9 0 o -90^o −90o相移的全通滤波器
考虑输入为 x ( t ) = e j w 0 t , w 0 > 0 x(t)=e^{jw_0t},w_0>0 x(t)=ejw0t,w0>0,输出为 y ( t ) y(t) y(t),则
y ( t ) = H [ e j w 0 t ] = F − 1 [ X ( j w ) H ( j w ) ] = F − 1 [ 2 π δ ( w − w 0 ) . ( − j ) ] = y(t)=\mathcal H[e^{jw_0t}]=\mathcal F^{-1}[X(jw)H(jw)]=\mathcal F^{-1}[2 \pi \delta(w-w_0).(-j)]= y(t)=H[ejw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w−w0).(−j)]=
− j e j w 0 t = − e j π 2 e j w 0 t = e j ( w 0 t − π 2 ) -je^{jw_0t}=-e^{j\frac\pi 2}e^{jw_0t}=e^{j(w_0t-\frac \pi 2)} −jejw0t=−ej2πejw0t=ej(w0t−2π)
同理,(但 w 0 < 0 w_0<0 w0<0)
H [ e − j w 0 t ] = F − 1 [ X ( j w ) H ( j w ) ] = F − 1 [ 2 π δ ( w + w 0 ) . ( j ) ] = \mathcal H[e^{-jw_0t}]=\mathcal F^{-1}[X(jw)H(jw)]=\mathcal F^{-1}[2 \pi \delta(w+w_0).(j)]= H[e−jw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w+w0).(j)]=
j e − j w 0 t = e j π 2 e − j w 0 t = e − j ( w 0 t − π 2 ) je^{-jw_0t}=e^{j\frac\pi 2}e^{-jw_0t}=e^{-j(w_0t-\frac \pi 2)} je−jw0t=ej2πe−jw0t=e−j(w0t−2π)
所以,如果f(t)是低频带限信号( w > 0 , w m a x < w 0 w>0,w_{max}<w_0 w>0,wmax<w0),则w往右般 w 0 w_0 w0后一定是正的,向左搬 w 0 w_0 w0后一定是负的。所以:
H [ f ( t ) c o s w 0 t ] = F − 1 [ 1 2 [ F ( w − w 0 ) + F ( w + w 0 ) ] . ( − j . s g n ( w ) ) ] \mathcal H[f(t)cosw_0t]=\mathcal F^{-1}[\frac12[F(w-w_0)+F(w+w_0)].(-j.sgn(w))] H[f(t)cosw0t]=F−1[21[F(w−w0)+F(w+w0)].(−j.sgn(w))]
= F − 1 [ 1 2 j [ F ( w − w 0 ) − F ( w + w 0 ) ] ] = f ( t ) s i n w 0 t =\mathcal F^{-1}[\frac {1}{2j} [F{}(w-w_0)-F(w+w_0)]]=f(t)sinw_0t =F−1[2j1[F(w−w0)−F(w+w0)]]=f(t)sinw0t
同理:
H [ f ( t ) s i n w 0 t ] = F − 1 [ 1 2 j [ F ( w − w 0 ) − F ( w + w 0 ) ] . ( − j . s g n ( w ) ) ] \mathcal H[f(t)sinw_0t]=\mathcal F^{-1}[\frac{1}{2j}[F(w-w_0)-F(w+w_0)].(-j.sgn(w))] H[f(t)sinw0t]=F−1[2j1[F(w−w0)−F(w+w0)].(−j.sgn(w))]
= F − 1 [ − 1 2 [ F ( w − w 0 ) + F ( w + w 0 ) ] ] = − f ( t ) c o s w 0 t =\mathcal F^{-1}[-\frac {1}{2} [F{}(w-w_0)+F(w+w_0)]]=-f(t)cosw_0t =F−1[−21[F(w−w0)+F(w+w0)]]=−f(t)cosw0t
由(1),显然 R X ^ ( 0 ) = R X ( 0 ) R_{\hat X}(0)=R_{X}(0) RX^(0)=RX(0)
所以过程 X ( t ) X(t) X(t)和它的希尔伯特变换过程 X ^ ( t ) \hat X(t) X^(t)的功率相等,因为$$。