快速幂算法详解

快速幂算法详解

什么是快速幂算法？

快速幂算法，顾名思义，是一种快速求解幂值的方法，之前我们已经探讨过对时间复杂度的分析，通过之前的分析，我们了解了代码的运行速度对代码的优劣影响，我们在设计算法时，考虑时间复杂度至关重要。

快速幂算法可以简化幂的求值速度，将原本的暴力求法的时间复杂度O(n)降低为O(logn)，大大降低了代码的运行速度。

求2^{10000000000000000000…}

这里我们以求2的1000000次方的值为例，很多人一看到这道题目，觉得并不是很难，一个for循环就解决了，也就是普通的暴力解法，暴力解法如下：

暴力解法

## 暴力求幂

A = 2
B = 1000000
result = 1
for i in range(B):
    result = result*A

print(result)

很明显，当幂值特别大的时候，这个“暴力”求解需要消耗巨大的时间，时间复杂度O(n)

快速幂的思路

我们来举一个例子，例如 9¹⁰

根据幂的运算法则，9¹⁰ = (9²)⁵ = (9*9)⁵

于是乎我们似乎发现一个可以降低时间复杂度的方法，因为原本需要乘10次的运算现在变成了只需要乘5次。

但是这个法则只适用于偶数幂，如果幂变成了奇数，如上面这个5的情况，该怎么办呢？

很显然，我们可以将奇数幂次减一变成偶数幂，把幂次为奇数的底数的一次方乘在右边，将分离出来的偶次幂继续重复以上的操作

即
9¹⁰ = (9²)⁵ = (9²)⁴ * (9²)¹

(9²)⁴ = (81)⁴ 把幂次除以2，底数执行平方操作= (81²)²

(81²)² = (6561)²

(6561)² = (43046721)¹

此时，幂次又变成了一个奇数，为1，按照上面的方法，我们继续把幂次为奇数的底数的一次方，即(43046721)¹拿出来，拿出来以后此时的指数已经变为了0，代表着对偶次幂的重复操作结束。于是我们可以观察到

9¹⁰ = (9²)⁵ = (9²)⁴ * (9²)¹ = (81²)² * (9²)¹ = (6561)² * (9²)¹ = (43046721)¹ * (9²)¹

于是乎，快速幂算法提供了这样一个简便的解决思路：

当幂%2==0，也就是当幂为偶数时，根据幂的运算法则，我们可以将幂除以2，然后底数进行平方操作，值保持不变。

当幂%2= =1,也就是当幂为奇数时，将幂为奇数的底数保存起来，再对幂-1，重复上面的操作。

最后的结果就是将幂为奇数的底数综合相乘。

快速幂解法

快速幂解法如下：

A = 2
B = 1000000

def fastpower(base,power):
    result = 1
    while(power>0):
        if (power%2==0):
            base = base*base
            power/=2
        else:
            result = result*base
            power-=1
            power/=2
            base = base*base
    return result


fastpower(A,B)
print(fastpower(A,B))

时间复杂度O(logn)

回到之前，往往不会让你求2^{1000000000000000000000000000000000000…}

在日常中，往往都不会叫你算这么大的一个数字，这么大的数字并不是计算机算不出，而是因为这个数字已经大到计算机（语言）已经装不下了。

取余运算法则

所以在使用或者是比赛当中，往往会叫你求某个大数的个位数，后两位数，后三位数等等。

但是我们整体的结果都得不出，更不用说求这个数的某个部分了，所以我们要从前面运算的时候就开始着眼解决这个问题。

根据取余运算法则，我们知道

(a*b)%x = [(a%x) *(b%x)]%x
(a+b)%x = [(a%x) +(b%x)]%x
(a-b)%x = [(a%x) -(b%x)]%x

求2^1000000的后三位

将上面的算法在每次运算的时候取余即可

代码如下：

A = 2
B = 1000000

def fastpower(base,power):
    result = 1
    while(power>0):
        if (power%2==0):
            base = base*base%1000
            power/=2
        else:
            result = result*base%1000
            power-=1
            power/=2
            base = base*base%=%1000
    return result


fastpower(A,B)
print(fastpower(A,B))

总结

快速幂算法可以将求幂解法的时间复杂度下降，将时间复杂度从O(n) 将为 O(logn),如果n的取值（幂的取值）足够大，时间消耗将大大减少。

同时，求余运算规则也要熟记，可以让我们无需得出总体结果的情况下得出总体结果的余数