【蓝桥杯-筑基篇】动态规划
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1.最大连续子段和
2.LCS 最大公共子序列
3.LIS 最长上升子序列
4.数塔
5.最大子矩阵和
6.背包问题
①01背包问题
②完全背包
1.最大连续子段和
这段代码是一个求最大子数组和的算法，使用的是动态规划的思想。下面是代码的解释：
首先定义了一个整数数组arr，用于存储给定的一组数。然后定义了一个整数数组dp，用于存储以arr中每个元素为结尾的最大子数组和。接着将dp的第一个元素设置为0和arr的第一个元素的最大值。然后从第二个元素开始循环遍历数组dp，将当前元素的dp设置为 ：前一个元素的dp 和 当前元素的arr之和 与 当前元素的arr 比较最大值。最后按升序对数组dp进行排序，最大子数组和即为dp的最后一个元素。
public class A {
public static void main(String[] args) {
int arr[]= {-2,11,-4,13,-5,-2}; //定义一个数组arr
int dp[]=new int[arr.length]; //定义一个数组dp，长度与arr相同
System.out.println("arr:"+Arrays.toString(arr)); //输出arr数组
System.out.println("-----------流程-----------"); //输出分割线
dp[0]=Math.max(0, arr[0]); //dp[0]为arr[0]和0的最大值
System.out.println("dp:"+Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
for (int i = 1; i < dp.length; i++) { //循环dp数组
dp[i]=Math.max(dp[i-1]+arr[i], arr[i]); //dp[i]为dp[i-1]+arr[i]和arr[i]的最大值
System.out.println("dp[i-1]+arr[i]:"+(dp[i-1]+arr[i])+"\narr[i]:"+arr[i]); //输出dp[i-1]+arr[i]和arr[i]
System.out.println("dp:"+Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
}
Arrays.sort(dp); //对dp数组进行排序
System.out.println("-----------流程-----------"); //输出分割线
System.out.println("最大字段和："+dp[dp.length-1]); //输出dp数组中的最大值
}arr:[-2, 11, -4, 13, -5, -2]
-----------流程-----------
dp:[0, 0, 0, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:11
arr[i]:11
dp:[0, 11, 0, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:7
arr[i]:-4
dp:[0, 11, 7, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:20
arr[i]:13
dp:[0, 11, 7, 20, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:15
arr[i]:-5
dp:[0, 11, 7, 20, 15, 0]
dp[i-1]+arr[i]:13
arr[i]:-2
dp:[0, 11, 7, 20, 15, 13]
-----------流程-----------
最大字段和：20分治法：
最大字段和（分治法，递归，Java）
2.LCS 最大公共子序列
例如：
S1={1，5，2，8，9，3，6}，S2={5，6，8，9，3，7}，其最大公共子序列为{5，8，9，3}。
为了找到两个字符串之间的最大公共子序列，我们可以使用动态规划。基本思想是创建一个矩阵，其中每个单元格表示到该点的最大公共子序列的长度。
我们从将矩阵的第一行和第一列初始化为0开始。然后，对于每个后续单元格，我们检查两个字符串中相应位置的字符是否匹配。如果匹配，则将当前单元格的左上角对角线上的值加1。如果不匹配，则取当前单元格上方和左侧单元格之间的最大值。
填充整个矩阵后，最长公共子序列的长度可以在右下角单元格中找到。
public class A {
public static void main(String[] args) {
String s1="BDCABA";
String s2="ABCBDAB";
int dp[][]=new int[s1.length()+1][s2.length()+1];
for (int i = 0; i < s1.length(); i++) {
for (int j = 0; j < s2.length(); j++) {
if(s1.charAt(i)==s2.charAt(j)) dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
else dp[i+1][j+1]=Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]);
}
}
for (int[] is : dp) {
for (int i : is) {
System.out.print(i+" ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("最大公共子序列:"+dp[s1.length()][s2.length()]);
}
}
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 2 2 2
0 0 1 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 2 3 3
0 1 2 2 3 3 3 4
0 1 2 2 3 3 4 4
最大公共子序列:4
3.LIS 最长上升子序列
动态规划解决方案的基本思想是使用一个数组 dp 来跟踪输入数组中每个索引处的最长上升子序列的长度。我们将dp初始化为所有 1，因为任何索引处的最长上升子序列长度至少为 1（元素本身）。然后，我们遍历输入数组，并对于每个元素，我们遍历所有先前的元素并检查它们是否小于当前元素。如果是，我们将当前索引处的 dp更新为其当前值和前一个索引处的值加 1 的最大值。这意味着我们已经找到了以当前索引结尾的更长的上升子序列。最后，我们输出 dp 中的最大值，它表示输入数组中最长上升子序列的长度。
public class A {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int n=scanner.nextInt(); //输入数组长度
int arr[]=new int[n]; //定义数组
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i]=scanner.nextInt(); //输入数组元素
}
int dp[]=new int[arr.length]; //定义dp数组
Arrays.fill(dp, 1); //初始化dp数组
int j=0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
j=i-1;
while (j>=0) {
if(arr[i]>arr[j]) { //如果当前元素大于前面的元素
dp[i]=Math.max(dp[i], dp[j]+1); //更新dp数组
}
j--;
}
}
System.out.println(Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
Arrays.sort(dp); //对dp数组进行排序
System.out.println(dp[dp.length-1]); //输出dp数组中的最大值
}
}输入：
7
1 5 2 3 11 7 9输出：
[1, 2, 2, 3, 4, 4, 5]
54.数塔
【动态规划】——数塔（java版，超详图解）
5.最大子矩阵和
知识点：前缀和+动态规划【最大字段和】
【蓝桥杯-筑基篇】前缀和
了解决这个问题，我们首先读入一个n x n的矩阵，并计算每列的前缀和。然后，对于每对起始和结束列，我们计算它们之间的子矩阵和。
接下来，我们使用动态规划来找到每列的最大子段和，并相应地更新最大子矩阵和。最后，我们输出最大子矩阵和。
//读入一个n*n的矩阵
//计算每一列的前缀和
//对于每一列的起始和结束位置，计算出这两列之间的子矩阵和
//用dpi表示以第i列为结尾的最大子段和
//对于每一列，计算以该列为结尾的最大子段和，并更新ans
//输出最大子矩阵和
public class B {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int n=scanner.nextInt();
int[][] g=new int[n+1][n+1];
for (int i = 1; i < g.length; i++) {
for (int j = 1; j < g.length; j++) {
g[i][j]=scanner.nextInt();
g[i][j]=g[i][j]+g[i-1][j]; // 计算每一列的前缀和
}
}
for (int[] is : g) {
//输出前缀和数组
System.out.println(Arrays.toString(is));
}
int ans=Integer.MIN_VALUE;
for (int start = 1; start < g.length; start++) {
for (int end = 1; end < g.length; end++) {
int dpi=0;
for (int col = 1; col < g.length; col++) {
int ai=g[end][col]-g[start-1][col]; // 计算出这两列之间的子矩阵和
dpi=Math.max(dpi+ai, ai); // 计算以该列为结尾的最大子段和
ans=Math.max(ans, dpi); // 更新ans
}
}
}
System.out.println("--最大子矩阵和--:"+ans); // 输出最大子矩阵和
}
}
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, -2, -7, 0]
[0, 9, 0, -13, 2]
[0, 5, 1, -17, 3]
[0, 4, 9, -17, 1]
--最大子矩阵和--:15
6.背包问题
①01背包问题
解题思路：使用动态规划算法解决01背包问题，首先输入物品数量和背包容量，然后输入每个物品的重量和价值，接着使用二重循环遍历物品和背包容量，如果当前背包容量大于等于当前物品重量，则可以选择将该物品放入背包，此时背包的价值为dp[i-1][j-wt[i]]+val[i]，否则背包的价值为dp[i-1][j]，最后输出动态规划数组即可
/**
* 01背包问题
* wt: 物品重量
* val: 物品价值
* dp: 动态规划数组
*/
public class C {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int n=scanner.nextInt(); // 物品数量
int m =scanner.nextInt(); // 背包容量
int wt[]=new int[n+1]; // 物品重量数组
int val[]=new int[n+1]; // 物品价值数组
int dp[][]=new int[n+1][m+1]; // 动态规划数组
for (int i = 1; i < wt.length; i++) {
wt[i]=scanner.nextInt(); // 输入物品重量
val[i]=scanner.nextInt(); // 输入物品价值
}
for (int i = 1; i < wt.length; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if(j-wt[i]>=0) {
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wt[i]]+val[i]); // 动态规划
}
else dp[i][j]=dp[i-1][j]; // 动态规划
}
}
for (int[] is : dp) {
System.out.println(Arrays.toString(is)); // 输出动态规划数组
}
}
}
②完全背包
// 本题为完全背包问题，采用动态规划求解。时间复杂度为O(nW)，空间复杂度为O(nW)。
public class C {
public static void main(String[] args) {
int[] weights = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量
int[] values = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
int capacity = 8; // 背包容量
int result = completeKnapsack(capacity,weights, values); // 调用函数
System.out.println("Maximum value: " + result); // 输出结果
}
public static int completeKnapsack(int W, int[] w, int[] v) {
int n = w.length; // 物品数量
int[][] dp = new int[n+1][W+1]; // 初始化动态规划数组
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 0; // 初始化
}
for (int j = 0; j <= W; j++) {
dp[0][j] = 0; // 初始化
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
for(int k=0;k<=(j/w[i-1]);k++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*w[i-1]]+k*v[i-1]); // 状态转移方程
}
}
}
return dp[n][W]; // 返回最大价值
}
}