高中奥数 2021-06-02

2021-06-02-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题10）

对于集合中的任意两个元素和,定义它们的距离为:.取的一个子集,使中任意两个元素之间的距离都大于2.问子集中最多含有多少个元素?证明你的结论

解

假设有一个5个元素的子集也符合条件,则这5个元素中至少有3个的第一位数码相同.不妨设这三个元素的第一位数码相同.同样,在中,第二、三、四、五个数码上,每个都至少有两个元素的对应数码相同.但三元素两两分组只有3组,故至少有两个元素,它们除第一数码相同外,至少还有两位数码相同,不妨设与,则的距离不大于2,矛盾.故的元素不多于4个.可令.

2021-06-02-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题11）

求最大正整数,使得元集合同时满足:

(1)中的每个数均为不超过2002的正整数;

(2)对于的两个数和(可以相同),它们的乘积不属于．

解

设集合,,,,,,其中不是的幂,且满足.于是,集合中:至少不包含中的1个元素;至少不包含中的5个元素;至少不包含中的3个元素;至少不包含中的2个元素;至少不包含中的2个元素;至少不包含31个中每个集合的1个元素.所以,中最多有个元素.例如,.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题12）

我们称一个正整数的集合是“一致”的,是指:删除中任何一个元素之后,剩余的元素可以分成两个不相交的子集,而且这两个子集的元素之和相等.求最小的正整数,使得可以找到一个具有个元素的“一致”集合.

解

设,为中各元素之和.

由题意可得,对任意,是偶数.如果是偶数,则中的每个元素也都是偶数,即,而集合仍然是“一致”的.

假定是奇数,故对于,也都是奇数.

由于,也是奇数.

时,容易验证集合是一致的.

假定,的情形显然不成立.

设.将元素按升序排列,即.

将集合分成两个不相交的子集,且使每个子集的元素和相等,有两种方式:,.

类似地对集合有,.

如果且,则有,矛盾.

如果且,则有,矛盾.

如果且,则有,矛盾.

如果且,则有,矛盾.

因此,,故.