两个PDF比较标出差异_[连玉君专栏]如何检验分组回归后的组间系数差异？

连玉君 （中山大学岭南学院金融系）
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2018.4.11更新：该文已发表
连玉君, 廖俊平, 2017, 如何检验分组回归后的组间系数差异?, 郑州航空工业管理学院学报 35, 97-109. [PDF 原文下载] [PDF-万方]
2020.4.19 更新：[本文最新版]

问题：实证分析中，经常需要对比分析两个子样本组的系数是否存在差异。
例如，在公司金融领域，研究薪酬激励是否有助于提升业绩时，模型设定为：

关注的重点是系数

。

我们经常把样本组分成“国有企业(SOE)”和“民营企业(PRI)”两个样本组，继而比较

和

是否存在差异。通常认为，民营企业的薪酬激励更有效果，即

。

如果两个样本组中的模型设定是相同的，则两组之间的系数大小是可以比较的，而且这种比较在多数实证分析中都是非常必要的。

举几个例子，让诸位对这类问题有点感觉：

Cleary, S., 1999, The relationship between firm investment and financial status, Journal of Finance, 54 (2): 673-692. Tabel IV

连玉君, 彭方平, 苏治, 2010, 融资约束与流动性管理行为, 金融研究, (10): 158-171. 表2.

问题背景：

下面使用我在stata初级班讲座（http://www.peixun.net/view/307_detail.html；连玉君课程_视频在线学习 - 讲师介绍 - Peixun.net - Peixun.net）中的例子，列举几种方法。

调入 stata 自带的数据集 nlsw88.dta。

这份数据包含了1988年采集的 2246 个妇女的资料，包括：小时工资 wage，每周工作时数 hours， 种族 race 等变量。

我们想研究的是妇女的工资决定因素。

最为关注的是白人和黑人（相当于把原始数据分成了两个样本组：白人组和黑人组）的工资决定因素是否存在差异。

分析的重点集中于工龄（ttl_exp）和婚姻状况(married) 这两个变量的系数在两组之间是否存在显著差异。

下面是分组执行 OLS 回归的命令和结果：

sysuse "nlsw88.dta", clear
  gen agesq = age*age
*-分组虚拟变量
  drop if race==3
  gen black = 2.race
  tab black 
*-删除缺漏值 
  global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry"
  reg wage $xx i.race
  keep if e(sample)   
*-分组回归
  global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry"
  reg wage $xx if black==0 
  est store White
  reg wage $xx if black==1 
  est store Black
 *-结果对比
  local m "White Black"
  esttab `m', mtitle(`m') b(%6.3f) nogap drop(*.industry) ///
	 s(N r2_a) star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) 

结果：

------------------Table 1-------------------
                      (1)             (2)   
                    White           Black   
--------------------------------------------
ttl_exp             0.251***        0.269***
                   (6.47)          (4.77)   
married            -0.737**         0.091   
                  (-2.31)          (0.23)   
south              -0.813***       -2.041***
                  (-2.71)         (-4.92)   
hours               0.051***        0.037   
                   (3.81)          (1.39)   
tenure              0.025          -0.004   
                   (0.77)         (-0.09)   
age                 0.042           0.995   
                   (0.03)          (0.54)   
agesq              -0.001          -0.015   
                  (-0.09)         (-0.66)   
_cons               3.333         -14.098   
                   (0.14)         (-0.39)   
--------------------------------------------
N                1615.000         572.000   
r2_a                0.112           0.165   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

可以看到，ttl_exp 变量在 [white 组] 和 [black 组] 的系数分别为 0.251 和 0.269， 二者都在 1% 水平上显著异于零。

问题在于：我们能说 0.269 比 0.251 大吗？

从统计意义上来看，答案显然没有那么明确（小学五年级的小朋友会觉得这根本不是个问题！）。

相对而言，若把注意力放在 married 这个变量上，或许更容易判断二者的差异是否显著。因为，_b[married]_white (白人组的 married 估计系数) 为 -0.737**，而 _b[married]_black 为 0.091 —— 前者在 5% 水平上显著为负，而后者不显著。

即便如此，我们仍然无法直接作出结论：_b[married]_white < _b[married]_black，因为二者的置信区间尚有重叠：

	  *----------------------------------------
	  *             White         Black        
	  *----------------------------------------
	  * ttl_exp 
	  *---------
	  *   beta     0.251***       0.269***     
	  *  95% CI  [0.17, 0.33]   [0.16, 0.38]   
	  *----------------------------------------
	  * married 
	  *---------
	  *   beta     -0.737**         0.091      
	  *  95% CI  [-1.36, -0.11]  [-0.69, 0.87] 
	  *----------------------------------------

下面我们介绍三种检验组间系数差异的方法：

• 方法1：引入交叉项（Chow 检验）
• 方法2：基于似无相关模型的检验方法 (suest)
• 方法3：费舍尔组合检验（Permutation test）

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方法 1: 引入交叉项

这是文献中最常用的方法，执行起来也最简单。以检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异为例。引入一个虚拟变量

，若某个妇女是黑人，则

，否则

。在如下命令中，black 变量即为这里的

。模型设定为：

这是最基本的包含虚拟变量，以及虚拟变量与一个连续变量交乘项的情形。

显然，对于白人组而言，

，则 (1) 式可以写为：

对于黑人组， (1) 式可以写为：

由此可见，在 (1) 式中，参数

和

分别反映了黑人组相对于白人组的截距和斜率差异。我们关注的是参数

，它反映了 ttl_exp 这个变量在两个样本组中的系数差异。因此，检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异就转变为

。相应的估计命令如下：

dropvars ttl_x_black marr_x_black
global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry" //Controls
gen ttl_x_black = ttl_exp*black  //交乘项
reg wage black ttl_x_black $xx   //全样本回归+交乘

为节省篇幅，仅列出最关键的结果如下：

reg wage black ttl_x_black $xx   //全样本回归+交乘
     Source |       SS       df       MS              Number of obs =    2187
------------+------------------------------           F( 20,  2166) =   17.32
      Model |   10074.761    20  503.738052           Prob > F      =  0.0000
   Residual |  63000.2591  2166  29.0859922           R-squared     =  0.1379
------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.1299
      Total |  73075.0201  2186   33.428646           Root MSE      =  5.3931
-----------------------------------------------------------------------------
       wage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
------------+----------------------------------------------------------------
      black |   -.818647   .8015272    -1.02   0.307     -2.39049    .7531957
ttl_x_black |  -.0181844   .0585517    -0.31   0.756    -.1330077    .0966389
    ttl_exp |   .2537358   .0351178     7.23   0.000     .1848676     .322604
    married |  -.4646649   .2530829    -1.84   0.066    -.9609756    .0316458
      south |  -1.127138   .2453123    -4.59   0.000     -1.60821   -.6460662
      hours |   .0516672   .0116886     4.42   0.000     .0287451    .0745894
     tenure |   .0198005   .0260971     0.76   0.448    -.0313775    .0709786
        age |   .1685498   1.035721     0.16   0.871    -1.862562    2.199661
      agesq |  -.0034668   .0131097    -0.26   0.791    -.0291756     .022242
                             .....
      _cons |   .8448605   20.39973     0.04   0.967    -39.16022    40.84994
-----------------------------------------------------------------------------	

交乘项 [ttl_x_black] 的系数为 -.01818, 对应的 p-value 为 0.756，表明 [ttl_exp] 的系数在两组之间并不存在显著差异。

我们也可以不事先生成交乘项，而直接采用 stata 的因子变量表达式，得到完全相同的结果：

reg wage i.black ttl_exp i.black#c.ttl_exp $xx

或如下更为简洁的方式 (详情参见 help fvvarlist)：

reg wage i.black##c.ttl_exp $xx                         

然而，需要特别强调的是，在上述检验过程中，我们无意识中施加了一个非常严格的假设条件：只允许变量 [ttl_exp] 的系数在两组之间存在差异，而其他控制变量(如 married, south, hours 等) 的系数则不随组别发生变化。

这显然是一个非常严格的假设。因为，从 -Table 1- 的结果来看, married， south, hours 等变量在两组之间的差异都比较明显。

为此，我们放松上述假设，允许 married， south, hours 等变量在两组之间的系数存在差异：

reg wage i.black i.black#(c.ttl_exp i.married i.south c.hours) $xx    //Model 2

在这种相对灵活的设定下，[ttl_exp] 的系数为

，相应的 p-value=0.787，依然不显著。

当然，我们也可以采用更为灵活的方式：允许所有的变量在两组之间都存在系数差异（注意：所有离散变量前都要加 i. 前缀，否则将被视为连续变量进行处理（对于取值为0/1的虚拟变量，可以省略前缀 i.）；连续变量则需加 c. 前缀）：

global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.(age*) i.industry"
reg wage i.black##($xx)                                               //Model 3

这其实就是大名鼎鼎的 Chow test （邹检验），可以用 chowtest 命令快捷地完成。

小结：

• 引入交乘项来检验某个或某几个变量的系数是否存在组间差异，只需在普通线性回归中加入交乘项即可，但需要注意这一方法背后隐含的假设条件（为了便于说明，重新将 (1) 式列出）：

• A1： 所有控制变量的系数在两组之间无差异，即
  ;
• A2： 两组的干扰项具有相同的分布（因为估计时是将两组样本混合在一起进行估计的），即
  , 且
  ，换言之，
  。
• 因此，当其它变量的系数在两组之间也存在明显差异（A1不满足），或存在异方差（A2不满足）时，上述检验方法得到的结果都存在问题。

解决办法：

• 对于 A1，实际操作过程中，可以通过引入更多的交乘项来放松 A1，如上文提到的 Model 2 或 Model 3。
• 对于 A2， 则可以在上述回归分析过程中加入 vce(robust) 选项，以便允许干扰项存在异方差；或加入 vce(cluster varname) 以便得到聚类调整后的稳健型标准误。
• 上述范例中，是以基于截面数据的 OLS 回归为例的，但这一方法也适用于其他命令，如针对面板数据的 xtreg, 针对离散数据的 logit, probit 等。

方法 2: SUEST (基于似无相关模型SUR的检验)

基本思想

顾名思义，所谓的似无相关模型（seemingly unrelated regression）其实就是表面上看起来没有关系，但实质上有关系的两个模型。这听起来有点匪夷所思。这种“实质上”的关系其实是假设白人组和黑人组的干扰项彼此相关。为了表述方便，将白人和黑人组的模型简写如下：

白人组

黑人组

若假设

，则我们可以分别对白人组和黑人组进行 OLS 估计。

然而，虽然白人和黑人种族不同，但所处的社会和法律环境，面临的劳动法规都有诸多相似之处，使得二者的干扰项可能相关，即

。此时，对两个样本组执行联合估计（GLS）会更有效率（详见 Greene (2012, Econometric analysis, 7th ed, 292–304)）。

执行完 SUR 估计后，我们就可以对两组之间的系数差异进行检验了。

从上面的原理介绍，可以看出，基于 SUR 估计进行组间系数差异检验时，假设条件比第一种方法要宽松一些：

• 其一，在估计过程中，并未预先限定白人组和黑人组各个变量的系数一定要相同，因此在 (2) 式中，我们分别用
  和
  表示白人组和黑人组各个变量的系数向量；
• 其二，两个组的干扰项可以有不同的分布，即 可以不同，即
  ,
  ，且允许二者的干扰项相关，
  。

Stata 实现方法

在 stata 中执行上述检验的步骤为：

• Step 1: 分别针对白人组和黑人组进行估计（不限于OLS估计，可以执行 Logit, Tobit 等估计），存储估计结果；
• Step 2：使用 suest 命令执行 SUR 估计；
• Step 3: 使用 test 命令检验组间系数差异。

范例如下：

*-Step1: 分别针对两个样本组执行估计
  reg wage $xx if black==0 
  est store w  //white
  reg wage $xx if black==1 
  est store b  //black
*-Step 2: SUR
  suest w b
*-Step 3: 检验系数差异
  test [w_mean]ttl_exp = [b_mean]ttl_exp 
  test [w_mean]married = [b_mean]married  
  test [w_mean]south = [b_mean]south

Step 2 的结果如下（为便于阅读，部分变量的系数未呈现）：

.       suest w b

Simultaneous results for w, b
                                                  Number of obs   =       2187
-------------------------------------------------------------------------------
              |    Robust
              |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
w_mean        |
      ttl_exp |   .2505707   .0362302     6.92   0.000     .1795609    .3215805
      married |  -.7367238   .3486479    -2.11   0.035    -1.420061   -.0533865
        south |  -.8125914   .2892359    -2.81   0.005    -1.379483   -.2456994
        hours |   .0507118   .0126268     4.02   0.000     .0259637    .0754599
       tenure |   .0246063   .0289939     0.85   0.396    -.0322207    .0814333
          age |   .0415616   1.107902     0.04   0.970    -2.129887    2.213011
        agesq |  -.0014454   .0138965    -0.10   0.917     -.028682    .0257911
                                  ... ...
        _cons |   3.333308   22.03159     0.15   0.880    -39.84781    46.51442
--------------+----------------------------------------------------------------
w_lnvar       |
        _cons |     3.4561   .0971137    35.59   0.000     3.265761     3.64644
--------------+----------------------------------------------------------------
b_mean        |
      ttl_exp |   .2686185   .0511831     5.25   0.000     .1683015    .3689355
      married |   .0913607   .4050685     0.23   0.822    -.7025589    .8852804
        south |  -2.040701   .4252889    -4.80   0.000    -2.874252    -1.20715
        hours |   .0367536   .0229076     1.60   0.109    -.0081444    .0816516
       tenure |   -.003914   .0450917    -0.09   0.931    -.0922921    .0844641
          age |   .9952064   1.814351     0.55   0.583    -2.560856    4.551269
        agesq |  -.0153824   .0229045    -0.67   0.502    -.0602744    .0295096
        _cons |  -14.09831   35.40206    -0.40   0.690    -83.48508    55.28846
                                  ... ...
--------------+----------------------------------------------------------------
b_lnvar       |
        _cons |   3.077588   .2090237    14.72   0.000     2.667909    3.487267
-------------------------------------------------------------------------------

对上述命令和结果的简要解释如下：

• 白人组和黑人组的估计结果分别存储于 w 和 b 两个临时性文件中；
• 执行 - suest w b - 命令时，白人组和黑人组的被视为两个方程，即文的 (2a) 和 (2b) 式。Stata 会自动将两个方程对应的样本联合起来，采用 GLS 执行似无相关估计（SUR）；
• 由于 SUR 属于多方程模型，因此需要指定每个方程的名称，在下面呈现的回归结果中，[w_mean] 和 [b_mean] 分别是白人组和黑人组各自对应的方程名称。因此，[w_mean]ttl_exp 表示白人组方程中 ttl_exp 变量的系数，而 [b_mean]ttl_exp 则表示黑人组中 ttl_exp 变量的系数。

执行组间系数差异检验的结果如下（Step 3）：

. *-Step 3: 检验系数差异

.      test [w_mean]ttl_exp = [b_mean]ttl_exp 
  (1)  [w_mean]ttl_exp - [b_mean]ttl_exp = 0
           chi2(  1) =    0.08
         Prob > chi2 =    0.7735

.      test [w_mean]married = [b_mean]married  
  (2)  [w_mean]married - [b_mean]married = 0
           chi2(  1) =    2.40
         Prob > chi2 =    0.1213

.      test [w_mean]south = [b_mean]south      
  (3)  [w_mean]south - [b_mean]south = 0
           chi2(  1) =    5.70
         Prob > chi2 =    0.0169

此时，ttl_exp 在两组之间的系数差异仍然不显著，这与采用第一种方法得到的结论是一致的。在我们测试的三个变量中，只有 south 的系数在两组之间存在显著差异，对应的 p-value 为 0.0169。

使用 -bdiff- 命令

上述过程可以使用我编写的 - bdiff - 命令非常快捷的加以实现，结果的输出方式也更为清晰（在 stata 命令窗口中输入 - ssc install bdiff, replace- 可以下载最新版命令包，进而输入 - help bdiff - 查看帮助文件）：

preserve
  drop if industry==2  // 白人组中没有处于 Mining (industry=2) 的观察值
  tab industry, gen(d)  //手动生成行业虚拟变量
  local dumind "d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11" //行业虚拟变量
  global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.age c.agesq `dumind'"  
  bdiff, group(black) model(reg wage $xx) surtest
restore

结果如下：

-SUR- Test of Group (black 0 v.s 1) coeficients difference

   Variables |      b0-b1    Chi2     p-value
-------------+-------------------------------
     ttl_exp |     -0.017    0.07       0.788
     married |     -0.814    2.32       0.128
       south |      1.238    5.80       0.016
       hours |      0.014    0.28       0.597
      tenure |      0.030    0.32       0.571
         age |     -1.027    0.23       0.629
       agesq |      0.015    0.31       0.578
          d2 |     -2.732    1.63       0.202
          d3 |     -1.355    1.45       0.228
          d4 |     -2.708    2.23       0.135
          d5 |     -1.227    1.00       0.317
          d6 |      0.087    0.00       0.950
          d7 |     -0.534    0.07       0.785
          d8 |     -1.316    1.26       0.261
          d9 |      0.346    0.06       0.807
         d10 |     -1.105    0.94       0.333
         d11 |     -1.689    1.81       0.179
       _cons |     18.770    0.20       0.652
---------------------------------------------

几点说明：

• 使用 -suest- 时，允许两个样本组的解释变量个数不同。但由于一些技术上的问题尚未解决(很快可以解决掉)，-bdiff- 命令要求两个样本组中的解释变量个数相同。在上例中，白人组在 Mining 行业的观察值个数为零（输入 -tab industry black- 可以查看），导致我们加入行业虚拟变量时，白人组只有 10 个行业虚拟变量，而黑人组则有 11 个行业虚拟变量。为此，在上述命令中，我使用 - drop if industry==2 - 命令删除了 Mining 行业的观察值。
• 目前，-bdiff- 还不能很好地支持因子变量的写法 (help fvvarlist)，因此上例中的行业虚拟变量不能通配符方式写成 d*，而必须写成原始模样： d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11。

面板数据的处理方法

- suest - 不支持 -xtreg- 命令，因此无法直接将该方法直接应用于面板数据模型，如 FE 或 RE。此时，可以预先手动去除个体效应，继而对变换后的数据执行 OLS 估计，步骤如下：

• step 1： 对于固定效应模型而言，可以使用 - center - 或 - xtdata - 命令去除个体效应；对于随机效应模型而言，可以使用 - xtdata - 命令去除个体效应。
• step 2：按照截面数据的方法对处理后的数据进行分组估计，并执行 suest 估计和组间系数检验。

举个例子：

*-SUEST test for panel data
  *-数据概况
        webuse "nlswork", clear
        xtset idcode year
        xtdes
  *-对核心变量执行组内去心：去除个体效应
	help center   //外部命令, 下载命令为 ssc install center, replace
	local y "ln_wage"
	local x "hours tenure ttl_exp south"
	bysort id: center `y', prefix(cy_)   //组内去心
	bysort id: center `x', prefix(cx_) 	
  *-分组回归分析	
	reg cy_* cx_* i.year if collgrad==0  // 非大学组
	est store Yes
	reg cy_* cx_* i.year if collgrad==1  //   大学组
	est store No
  *-列示分组估计结果	
	esttab Yes No, nogap mtitle(Yes_Coll No_Coll) ///
		   star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) s(r2 N)		
  *-似无相关估计	
	suest Yes No
  *-组间差异检验	
        test [Yes_mean]cx_ttl_exp = [No_mean]cx_ttl_exp 
	test [Yes_mean]cx_hours = [No_mean]cx_hours 

小结

• 相对于方法1（引入交乘项），基于 SUR 的方法更为灵活一些。在上例中，白人组和黑人组的被解释变量相同 （均为 wage），此时方法 1 和方法 2 都能用。有些情况下，两个组中的被解释变量不同，此时方法 1 不再适用，而方法 2 则可以。
• 对于面板数据而言，可以预先使用 - center - 或 - xtdata - 命令去除个体效应，变换后的数据可以视为截面数据，使用 - regress - 命令进行估计即可。
• 为了便于呈现结果，可以使用 - estadd - 命令将上述检验结果(chi2 值或 p值) 加入内存，进而使用 -esttab- 命令列示出来。可以参考 - help bdiff - 中的类似范例。

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方法 3：费舍尔组合检验 （Fisher's Permutation test)

A、基本思想

白人组，样本数为

黑人组，样本数为

将二者的系数差异定义为

，检验的原假设为：

。

我们仍然关注 ttl_exp 变量在两组之间的系数差异。以 -Table 1- 中的结果为例，可以看到，ttl_exp 变量在 [white 组] 和 [black 组] 的系数估计值分别为 0.251 (

) 和 0.269 (

)，因此，实际观察到的系数差异为

。

这里，

是一个统计量，若能知道其分布特征，便可通过分析

在

的分布中的相对位置来判断我们实际观察到

的概率。若概率很小，则表明

是小概率事件，此时拒绝原假设，反之则无法拒绝原假设。

例如，若假设

服从标准正态分布，即

，则基于实际观察到的

，我们很容易得出结论：无法拒绝原假设，即两组之间的 ttl_exp 的系数不存在显著差异。p-value 很容易计算 (当然，也可以查表得到)：

. dis normal(-0.018)    //单尾检验
.49281943

然而，我们并不知道 d 的分布特征。此时，可以对现有样本进行重新抽样，以得到经验样本 (empirical sample)，进而利用经验样本构造出组间系数差异统计量 d 的经验分布 (empirical distribution)，从而最终得到经验 p 值 (empirical p-value)。

下面先通过一个小例子说明 “经验 p 值” 和 “经验分布” 的概念，进而介绍使用组合检验获得 “经验 p 值” 的流程。

B、经验 p 值 (empirical p-value)

在这个小例子中，我们先随机生成一个服从标准正态分布的随机数 d，共有 10000 个观察值。这些观察值是通过模拟产生的。如果这些观察值构成的样本是通过从原始样本（原始样本是从母体中一次随机抽样，称为 “抽样样本，sample”）中二次抽样得到的，则称为 “经验样本 (empirical sample)”。

然后，我们数一下在这 10000 个随机数中，有多个是大于

(我们实际观察到的数值)，命令为 count if d<-0.018。一共有 4963 个观察值大于

，由此可得，经验 p 值 = 4963/10000 = 0.4963。这与采用 normal() 函数得到的结果 (0.4928) 非常接近。

	preserve
	   clear
	   set obs 10000
	   set seed 1357
	   gen d = rnormal()  // d~N(0,1) 服从标准正态分布的随机数
	   sum d, detail
	   count if d<-0.018
	   dis "Empirical p-value = "  4963/10000
	restore 

C、经验样本 (empirical sample)

上例中，我们假设 d 服从标准正态分布，从而可以通过 monte carlo 模拟的方式产生 10000 个观察值，这事实上是构造了一个经验样本。但多数情况下，我们并不知道 d 的分布特征，此时无法使用 monte carlo 模拟。然而，若假设抽样样本 (sample) 是从母体 (population) 中随机抽取的，则可以通过抽样样本中二次抽样得到经验样本 (empirical sample)，这些经验样本也可以视为对母体的随机抽样。

若抽样过程中为无放回抽样 (sampling with no replacement)，则相应的检验方法称为 “组合检验（permutation test）”；若抽样过程中为有放回抽样 (也称为可重复抽样，sampling with replacement)，则对应的检验方法称为 “基于 Bootstrap 的检验”。

D、费舍尔组合检验的步骤

若

是正确的，则对于任何一个妇女而言（不论她是白人还是黑人），其 x 对 y 的边际影响都是相同的。因此，我们可以将白人组和黑人组的观察值混合起来，从中随机抽取 n1 个观察值，并将其视为"白人组"，剩下的 n2 个观察值可以视为“黑人组”。

• Step 0: 分别针对白人组和黑人组估计模型 (3a) 和 (3b)，得到系数估计值
  和
  ，以及二者的系数差异
  ；
• Step 1: 将白人组和黑人组的样本混合起来，得到 n1+n2 个观察值构成的样本 S；
• Step 2: 获得经验样本 —— 从 S 中随机抽取 (无放回) n1 个观察值，将其视为“白人组”(记为 Sw)，剩下的 n2 个观察值可以视为“黑人组” (记为 Sb)；
• Step 3: 分别针对经验样本 Sw 和 Sb，估计模型 (3a) 和 (3b)，得到
  和
  （上标
  表示利用第一笔经验样本得到的估计值），以及二者的差异
  ；
• Step 4: 获得统计量
  的经验分布 —— 将 Step 2 和 Step 3 重复执行
  次 (如
  )，则可以得到
  ，亦可简记为
  ；
• Step 5: 计算 经验 p 值，
  ，其中
  表示 Step 4 中得到的
  个
  中大于我们实际观测到的
  的个数。若
  ，则可以在5%水平上拒绝原假设，表明两组的系数差异是显著的。
• 需要说明的是，由于
  的分布未必是对称的，因此，
  与
  都可以视为在 5% 水平上拒绝原假设的证据。因为，前者意味着
  在 1000 个
  中属于非常大的数值，而后者意味着它是非常小的数值。无论如何，在原假设
  下观察到
  都是小概率事件，也就意味着原假设是不合理的。
• 此外，该方法的并不局限于普通的线性回归模型(-regress-命令)，可以应用于各种模型的估计命令，如 -xtreg-, -xtabond-, -logit-, -ivregress- 等。

E、Stata 实现

上述过程可以使用连玉君编写的 -bdiff- 命令来实现。在命令窗口中输入 -ssc install bdiff, replace- 可以自动安装该命令。帮助文件中提供了多个范例。

先使用一个简单的例子，不考虑行业虚拟变量：

  *-数据处理
        sysuse "nlsw88.dta", clear
	gen agesq = age*age
	drop if race==3
	gen black = 2.race 
	global xx "ttl_exp married south hours tenure age agesq"
    *-检验
	bdiff, group(black) model(reg wage $xx) reps(1000) detail

• 选项 group() 中填写用于区分组别的类别变量（若有多个组，可以预先删除不参与比较的组，类似于上面的 drop if race==3 命令）；
• 选项 model() 用于设定回归模型，即上面提到的模型 (3a) 或 (3b)；
• 选项 reps(#) 用于设定抽样次数，即上文提到的
  ，通常设定 1000-5000 次即可；
• 附加 detail 选项，可以进一步列表呈现两组的实际估计系数
  和
  ；

上述过程大约用时 13 秒，结果如下：

-Permutaion (1000 times)- Test of Group (black 0 v.s 1) coeficients difference

   Variables |      b0-b1    Freq     p-value
-------------+-------------------------------
     ttl_exp |      0.007     490       0.490
     married |     -0.824     920       0.080
       south |      1.411       5       0.005
       hours |      0.010     344       0.344
      tenure |     -0.006     512       0.488
         age |     -1.579     751       0.249
       agesq |      0.022     218       0.218
       _cons |     28.051     267       0.267
---------------------------------------------

可以看到，ttl_exp 的经验 p 值为 0.49，表明白人和黑人组的 ttl_exp 系数不存在显著差异；married 变量的 p 值为 0.08，我们可以在 10% 水平上拒绝原假设。细心的读者会发现，该变量对应的 Freq = 920，为什么？（答案在上面 Step 5 处）。

行业虚拟变量

若需在模型中加入虚拟变量，处理过程会稍微复杂一些。需要手动生成行业虚拟变量，并保证两个样本组中参与回归的行业虚拟变量个数相同。此外，书写命令时，不能使用通配符。（后续版本的 bdiff 命令会使用 fvunab 命令解决这些 bugs）。

*-数据预处理(可以忽略)
  sysuse "nlsw88.dta", clear
  gen agesq = age*age
*-分组虚拟变量
  drop if race==3
  gen black = 2.race 
*-删除缺漏值 
  global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry"
  qui reg wage $xx i.race
  keep if e(sample) 
*-生成行业虚拟变量
  drop if industry==2  // 白人组中没有处于 Mining (industry=2) 的观察值
  tab industry, gen(d)  //手动生成行业虚拟变量
  local dumind "d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11" //行业虚拟变量
  global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.age c.agesq `dumind'"
*-permutation test
  bdiff, group(black) model(reg wage $xx) reps(1000) detail

面板数据

若原始数据为面板数据，通常会采用 -xtreg-, -xtabond- 等考虑个体效应的方法进行估计。抽样过程必须考虑面板数据的特征。在执行 -bdiff- 命令之前，只需设定 -xtset id year-，声明数据为面板数据格式，则抽样时便会以 id (公司或省份代码) 为单位，以保持 id 内部的时序特征。

*-Panel Data (sample by cluster(id))
    *-数据预处理
        webuse "nlswork.dta", clear
	xtset id year                  //声明为面板数据，否则视为截面数据
	gen agesq = age*age
	drop if race==3
	gen black = 2.race
    *-检验
	global x "ttl_exp hours tenure south age agesq"
	local m "xtreg ln_wage $x, fe" //模型设定
	bdiff, group(black) model(`m') reps(1000) bs first detail	

耗时 608 秒才完成，结果如下：

-Bootstrap (1000 times)- Test of Group (black 0 v.s 1) coeficients difference

   Variables |      b0-b1    Freq     p-value
-------------+-------------------------------
     ttl_exp |      0.011      47       0.047
       hours |      0.003      58       0.058
      tenure |      0.004     116       0.116
       south |      0.093      14       0.014
         age |     -0.022     984       0.016
       agesq |      0.000      45       0.045
       _cons |      0.302      22       0.022
---------------------------------------------
Ho: b0(ttl_exp) = b1(ttl_exp)
  Observed difference =  0.011
    Empirical p-value =  0.047

解释和说明：

• -bdiff- 命令中设定 -bs- 选项，则随机抽样为可重复抽样 (bootstrap)；
• -first- 选项便于将组间系数差异检验结果保存在内存中，方便后续使用 esttab 合并到回归结果表格中。具体使用方法参见 -help bdiff-。
• 由于抽样过程具有随机性，因此每次检验的结果都有微小差异。在投稿之前，可以附加 -seed()- 选项，以保证检验结果的可复制性。
• 其他选项和使用方法参阅 -help bdiff- 的帮助文件。

F、延伸阅读

关于这一方法的更为一般化的介绍参见 Efron, B., R. Tibshirani. An introduction to the bootstrap[M]. New York: Chapmann & Hall, 1993 （Section 15.2, pp.202）.

如下论文使用了这一方法检验了 “投资-现金流敏感性” 分析中的组间系数差异：

Cleary, S., 1999, The relationship between firm investment and financial status, Journal of Finance, 54 (2): 673-692. （pp.684-685）

连玉君, 彭方平, 苏治, 2010, 融资约束与流动性管理行为, 金融研究, (10): 158-171. （pp.164）

其它基于 Permutation test 的检验

• -mtest- 命令基于组合检验的思想来检验两个样本组是否具有相同的分布 （Stata Journal, 11-2, http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0228）；
• -tsrtest-， -mwtest- 命令用于检验两个样本组的均值，中位数，方差等多个维度的差异（Stata Journal, 9-1, http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0158）
• 上述命令都可以使用 - findit - 搜索到，或直接用 - ssc install 命令名称 - 下载安装。

小结

• 方法1（加入交乘项）在多数模型中都可以使用，但要注意其背后的假设条件是比较严格的。若在混合回归中，只引入你关心的那个变量（ttl_exp）与分组变量 (black) 的交乘项（ttl_exp*black），则相当于假设其他控制变量在两组之间的不存在系数差异。相对保守的处理方法是：在混合估计时，引入所有变量与分组变量的交乘项，同时附加 vce(robust) 选项，以克服异方差的影响。
• 方法2（基于 SUR 模型的检验）执行起来也比较方便，假设条件也比较宽松：允许两组中所有变量的系数都存在差异，也允许两组的干扰项具有不同的分布，且彼此相关。局限在于，有些命令无法使用 -suest- 执行联合估计，如几乎所有针对面板数据的命令都不支持（-xtreg-， -xtabond- 等）。
• 方法3（组合检验）是三种方法中假设条件最为宽松的，只要求原始样本是从母体中随机抽取的（看似简单，但很难检验，只能靠嘴说了），而对于两个样本组中干扰项的分布，以及衡量组间系数差异的统计量
  的分布也未做任何限制。事实上，在获取经验 p 值的过程中，我们采用的是“就地取材”、“管中窥豹”的思路，并未假设
  的分布函数；另一个好处在于可以适用于各种命令，如 regress，xtreg，logit, ivregress 等，而 -suest- 则只能应用于部分命令。
• 方法无优劣。无论选择哪种方法，都要预先审视一下是否符合这些检验方法的假设条件。

2018.4.11更新：该文已发表
连玉君, 廖俊平, 2017, 如何检验分组回归后的组间系数差异?, 郑州航空工业管理学院学报 35, 97-109. [PDF 原文下载]

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