讲解：JavaLloyd Trefethen Quadrature better than Clenshaw-CurtisJava

Introduction我们在课堂上讨论了高斯积分和Clenshaw-Curtis积分方法。请阅读Lloyd Trefethen撰写的以下论文，‘Is Gauss Quadrature better than Clenshaw-Curtis?’, SIAM Review 50(1), 67–87, 2008。回答以下问题：（a）阅读本文的第1部分并总结（3-4行）该论文的主要贡献。（b）实现文中介绍的高斯积分和Clenshaw-Curtis积分的Octave程序（参见第2节）。 将它们命名为gauss.m和clenshaw_curtis.m。通过尝试命令gauss（@cos，1000）和clenshaw curtis（@ cos，1000）来验证它们是否正常工作。（c）第三部分提供了经验证据，证明Clenshaw-Curtis的收敛速度与高斯积分一致，使用六个函数。使用脚本conv_conv.m（参见Canvas的Octave页面）。绘制函数e^x和1/(1+16x^2 )在1-100之间的|I-In|1 介绍大多数数值分析教材都有一章节叫数值积分，其中大多数存在两个（n + 1）点正交规则族：首先基于等距点的Newton-Cotes公式，然后基于最优（从某种意义上）的点的高斯公式。一个关于任何积分公式的族的基本问题是，它是否收敛为n→∞，如果这样，速度有多快？长久以来，人们已经知道牛顿 - 科特斯公式不会为一般的被积函数而收敛。 它们只在f围绕积分区间的大区域进行分析时才会收敛，即使在没有舍入误差的情况下也是如此：问题是与Runge现象相关的O（2n）放大问题。相反，高斯积分公式对任何连续的f都收敛，并且没有舍入误差的问题。 此外，他们会出现有限n的效率为2倍的优势：而（n + 1）点Newton-Cotes公式恰好整合了n次多项式，即（n + 1）点高斯公式 积分2n + 1次多项式。高斯正交节点和权重需要一些工作来计算，但这可以通过解决三对角特征值问题在O（n2）运算中完成，如Golub和Welsch所示。然而，高斯积分不是牛顿 - 科特斯唯一的选择。 在这里，我们将它与Clenshaw-Curtis求积相比较，这是一组基于对采用快速傅立叶变换（FFT）的O（n log n）运算中可实现的积分切比雪夫点进行采样的公式。Clenshaw-Curtis公式在Johnson和Riess（1982），Ueberhuber（1997），Neumaier（2001）和Heath（2002）的数值分析教科书中被提及，并且在Gautschi（1997）和Cheney和Kincaid（1999））。它们也可以在数值积分专着中找到，包括Davis和Rabinowitz（1967,1975和1984），Brass（1977），Engels（1980），Evans（1993），Krommer和Ueberhuber（1998）以及Kythe和Sch？aferkotter（2005）。与Newton-Cotes正交相似，Clenshaw-Curtis求积积分n阶多项式。 像高斯积分一样，它对所有连续的f都收敛，并且没有舍入误差的问题。因此，从表面上看，我们似乎有一种方法与高斯一样稳健，可以在给定的n上实现，但“效率只有一半”。但这里有一个惊喜。 实际上，Clenshaw-Curtis的效率并不如高斯高一半。 事实上，对于大多数被积函数来说，这两个公式大致相同。这一观察结果于1968年由奥哈拉和史密斯[45]提出，并在随后的一两次出版物中报道，尤其是Evans [19]和Kythe和Sch？aferkotter [41]的着作。然而，它尚未广为人知，并且尚未进入数值分析教科书。 本文的目的是通过新的数值实验（第3节），新的定理（第4节和第5节，尤其是定理5.1）以及在复平面中包含有理逼近的新分析（第6节）来公布这个现象并理解它）。简而言之，我们的结论是，Clenshaw-Curtis和Gauss公式具有基本相同的精度，除非f在整合区间的相当大的邻域内解析 - 在这种情况下，两种方法收敛得如此之快以至于差别几乎不重要。 图4和5总结了这种行为的原因。我们在这篇文章中所关心的是积分公式的“纯”形式。 我们没有涉及的积分，外推，误差估计，非均匀权函数，稳定性和条件，复合公式，自适应性，端点和内部奇点，变量变化，无界域和多维等很多实际问题。（有关这些问题的信息，请参见[19]和[50]。）从通用集成软件的设计来看，我们距离这里很远！这种强调的一个原因是高斯和克伦肖 - 柯蒂斯公式非常基本，所以值得在细节上理解它们的基本性质。另一个是，即使在它们的纯粹形式中，积分公式在实践中也被用作其他数值计算的一部分。 例如，Gauss和Clenshaw-Curtis公式都用于ODE和PDE的数值解[7,55]。另一个让我参与这个主题的例子是面向对象MATLAB中的chebfun系统，它利用Clenshaw-Curtis积分的功能和速度来动态整合函数，这些函数可以由数百万 的数据点[4]。总而言之，看起来高斯和克伦肖 - 柯蒂斯公式应该被认为是同样有价值和基础的，前者在优雅中具有优势，后者更加简单。2 Gauss 和 Clenshaw–Curtis公式在这篇文章中我们关注的是所谓的插值型求积公式。给出[-1,1]上的连续函数f（移植到一般区间[a，b]是微不足道的），并寻求近似积分：对于各种n，其中节点{xk}依赖于n而不是f。 权重{wk}由属性唯一定义，其中In等于通过数据点的度数≤n多项式插值的积分。 因此，如果f是一个度数≤n的多项式，则通过构造，（2.2）得到完全正确的答案。Newton-Cotes公式通过使节点从-1到1等间隔来定义。低阶的Newton-Cotes公式作为微分方程和其他数值方法的离散化的构建块是重要的。 然而，它们的性质如n→∞是非常糟糕的，除了图1和图4中的简短再现之外，我们不会进一步讨论它们。高斯公式通过最优化地选择节点来定义，从而最大化（2.2）精确整合的多项式的阶数。 由于存在n + 1个节点，所以可达到的程度比一般情况（即2n + 1度）高n + 1个数量级也就不足为奇了。Gauss在30年代中期发现了高斯积分公式[25]，这是衡量高斯职业生涯非凡的生产力的一个指标，这个伟大的发现在他的生活的许多叙述中都不值一提。对于这些公式是真正强大的。 在计算机出现之前，它们的影响主要是理论上的，因为确定节点和权重以及在非理性论证中评估被积函数是困难的，但在计算机时代，特别是自从1969年Golub和Welsch发表论文以来 Goertzel在1954年的工作，1962年的Wilf和1968年的Gordon），它也是实用的[31]。 我们不会提供细节，只需提供以下MATLAB函数gauss.m，它几乎与[55]中的同名代码相同：Java代写Lloyd Trefethen Quadrature better than Clenshaw-Curtis例如，命令gauss（@ cos，6）产生1.68294196961579，这是完全正确的。 命令gauss（@ cos，1000）产生相同的结果，尽管我的笔记本电脑需要17秒。Clenshaw-Curtis积分的想法是使用Chebyshev点而不是最优节点。 这个主题有三个主要的变体（其他人参见[44]）：第一和第三变量分别被称为“经典”和“实际”克伦肖 - 柯蒂斯公式。 （特别是在20世纪60年代发表的一些相关论文没有提及Fej’er。）似乎最后的选择可能是最准确的[16]，并且与FFT最容易连接， 当n加倍时节点方便地重用节点的潜在优点; 它当然是在实践中主要使用的一个。 有问题的节点，我们简单地称切比雪夫点，由定义Clenshaw-Curtis积分公式是基于这些节点的公式（2.2）。 更好的名字可能是“Chebyshev”或“Fejer”，Clenshaw和Curtis称之为“切比雪夫公式” - 但是“Clenshaw-Curtis”这个词是标准的。Clenshaw和Curtis在1965年推出FFT之前于1960年发表了他们的论文。不久之后，Gentleman指出了与FFT的联系[28,29]。 我们再次不提供细节，但提供与gauss.m相同功能的MATLAB代码：为了获得余弦示例的完全准确性，我们现在需要clenshaw_curtis（@ cos，11）。 将n从11增加到103或106会得到相同的结果。 前者运行在我的笔记本电脑上不到一毫秒，而后者需要1.6秒。从精确地整合多项式的角度来看，Clenshaw-Curtis节点看起来像Newton-Cotes节点：两者仅仅在n阶精确。 然而，从图1可以清楚地看出，从字面意义上看，至少它们更接近高斯节点。当然它们具有与n→∞相同的渐近分布，密度nπ-1（1-x2）-1/2 众所周知，在[-1，1]上的多项式近似的各种意义上是最优的[55，Chap。5]0.43 实验比较图2显示了对于六个函数f（x），高斯和克莱肖 - 柯蒂斯公式的收敛性为n→∞。 （这个实验适用于[55]的输出30b和30c）。我们从单项函数f（x）= x20开始，在周期性上下文中的代数模拟将被称为带限函数。 这里的因子2在某种意义上是清晰可见的：高斯公式对于n≥10是精确的，对于n≥20是Clenshaw-Curtis公式。即使如此，很明显，对于较小的n值，高斯效率的优势（即达到一定准确度所需的n的大小）小于2的因子。第二个函数是ex，它是整数，即， 分析整个复杂平面。 在这里，高斯似乎比Clenshaw-Curtis更有效率，但不到2倍。RequirementSpring 2018, CMPSC/MATH 451Homework Assignment #6Due 11.59 pm, April 20 on Canvas1Determine the Hermite cubic interpolant satisfying the conditions f(0) = 1, f(1) = 3, f 0 (0) = −1,and f 0 (1) = 4.(10 points)2Determine all values of a, b, c, d, and e for which the following function is a cubic spline:s(x) =ax 2 + b(x − 1) 3 if x ∈ (−∞,1],cx 2 + d if x ∈ [1,2],ex 2 + (x − 2) 3 if x ∈ [2,∞).(10 points)3Derive a difference formula for the third derivative of f at x 0 using Taylor series expansions. Howmany points did you use in total, and what is the order of accuracy the resulting formula?(10 points)4We discussed the Gaussian quadrature and Clenshaw-Curtis quadrature methods in class. Re-view the following paper by Lloyd Trefethen, ‘Is Gauss Quadrature better than Clenshaw-Curtis?’,SIAM Review 50(1), 67–87, 2008 (see CC.pdf in Canvas Module5 folder), and answer the followingquestions.(a) Read Section 1 of the paper and summarize (in 3-4 lines) the main contributions of the paper.(b) Implement the Octave programs for Gaussian quadrature and Clenshaw-Curtis quadrature pre-sented in the paper (see Section 2). Name them gauss.m and clenshaw curtis.m. Verify thatthey work correctly by trying out the commands gauss(@cos, 1000) and clenshaw curtis(@cos,1000).(c) Section 3 provides empirical evidence that the convergence rate of Clenshaw-Curtis is on parwith Gaussian quadrature, using six functions. Using the script. conv plot.m (see the Octavepage of Canvas), plot |I − I n | in the range 1 − 100 for the functions e x and 1/(1 + 16x 2 ).转自：http://ass.3daixie.com/2018052610005281.html