蓝桥杯第19天（Python）（疯狂刷题第3天）
题型：
1.思维题/杂题：数学公式，分析题意，找规律
2.BFS/DFS：广搜（递归实现），深搜（deque实现）
3.简单数论：模，素数（只需要判断到 int（sqrt（n））+1），gcd，lcm，快速幂（位运算移位操作），大数分解（分解为质数的乘积）
4.简单图论：最短路（一对多（Dijstra，临接表，矩阵实现），多对多（Floyd，矩阵实现）），最小生成树（并查集实现）
5.简单字符串处理：最好转为列表操作
6.DP：线性DP，最长公共子序列，0/1背包问题，最长连续字符串，最大递增子串
7.基本算法：二分，贪心，组合，排列，前缀和，差分
8.基本数据结构：队列，集合，字典，字符串，列表，栈，树
9.常用模块：math，datetime，sys中的设置最大递归深度（sys.setrecursionlimit(3000000)），collections.deque（队列），itertools.combinations（list,n）（组合），itertools.permutations（list,n）（排列） heapq（小顶堆）
目录
题型：
刷题
1.阶乘约数 （大数分解，循环）
2.质因子个数 （大数分解，质数，约数）
3.等差数列（gcd函数用法）
4.快速幂（Fast_pow,位运算，移位操作）
5.最大最小公倍数（贪心，枚举讨论）
6.分解质因数（大数分解，字符串处理函数）
7.裁纸刀（思维题，内置函数的使用）
8.蛇形填数（思维，观察规律）
9.最大降雨量（思维题）
10.排序（字典序）
11.聪明的猴子（最小生成树，并查集）
12.路径（floyd或者dijstra实现）
13.出差（最短路径，矩阵实现Dijstra算法）
14.蓝桥王国（Dijstra算法模板题）
15.蓝桥公园 （Floyd算法模板题）
刷题
1.阶乘约数 （大数分解，循环）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
#写法一
save=[0]*101 # 大数分解
for i in range(1,101):
for j in range(2,int(math.sqrt(i))+1): # 质数从2开始
while i%j==0: # 质数分解
save[j]+=1
i=i//j
if i>1: # 剩下的数是一个质数或者本身就是一个质数 例如10=2*5 17=1*17
save[i]+=1
ans=1
for i in save:
ans*=(i+1)
print(ans)
# 写法二
##MAXN = 110
##cnt = [0] * MAXN #记录对应质数幂次
##
##for i in range(1, 101):
## x = i
## # 质因子分解
## j = 2
## while j * j <= x:
## if x % j == 0: # 是一个质数约数
## while x % j == 0: #类似埃式筛
## x //= j
## cnt[j] += 1
## j += 1
## if x > 1:
## cnt[x] += 1
##
##ans = 1
##for i in range(1, 101):
## if cnt[i] != 0:
## ans *= (cnt[i] + 1) # 0 也是一种选择
##
##print(ans)
两种实现方法，因为是100！，所以需要遍历1-100进行大数分解，注意质数是从2开始的，1不是质数，只需要遍历2 - int( sqrt(n) ）区间是否有n的因子，python取不到后面一位所以要加1，没得说明他是质数，同时如果分解后大于1说明没有被分解完，剩下的为质数，例如10，不是质数会变为1，例如4,9
2.质因子个数 （大数分解，质数，约数）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
#对一个数进行大数分解
ans=0
n=int(input())
for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
if n%i==0: #发现质数
ans+=1
#print(i) # 打印质数约数
while n%i==0: # 消除这个质数
n=n//i
if n>1:
#print(n) # 打印质数约数
ans+=1
print(ans)
送分题，会了第一题这道题就是秒出答案，只需要分解这一个数就行了，只需要求有多少个质数，注意判断分解后如果剩下的数大于1，说明还剩下了一个质数，答案需要加1.
3.等差数列（gcd函数用法）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
# gcd(0,a)=a
n=int(input())
A=list(map(int,input().split()))
d=0
for i in range(len(A)-1):
d=math.gcd(d,A[i+1]-A[i])
#print(d) #打印d
# 需要处理d==0的情况
if d==0:
print(n)
else:
ans=(max(A)-min(A))//d+1
print(ans)
送分题，但是需要仔细判断情况，之前一直漏掉了d==0时的情况，没有考虑周全，出现÷0错误，需要注意gcd（0，a）= a，当不确定长度，边界范围的时候自己举例来确定。
4.快速幂（Fast_pow,位运算，移位操作）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
b,p,q = map(int,input().split())
ans=1
while p: # 8次方 转为二进制 1000
if p&1: #当前位有1
ans=ans%q * b
b=b*b%q
p=p>>1 # 右移即/2
print(ans%q)
算是送分题，需要掌握位运算，左移乘2右移除2，使用while语句循环的时候注意在最后要改值，例如左加右减，右移左移，防止死循环。
5.最大最小公倍数（贪心，枚举讨论）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
n=int(input())
# 第一时间想到 n*(n-1)*(n-2)
# 当n为奇数 最大值 n*(n-1)*(n-2)
# 当n为偶数 n和n-2可以约分
# n*(n-1)*(n-3) (不能被3整除)
# (n-1)*(n-2)*(n-3） （能被3整除）
if n%2==1:
print(n*(n-1)*(n-2))
else:
if n%3==0: #能被3整除
print((n-1)*(n-2)*(n-3))
else:
print(n*(n-1)*(n-3))
枚举所有情况，首先按照贪心想法取3个最大值，然后在讨论特殊情况，例如有约数这些，要找互质的。因为求最小公倍数最大值。
6.分解质因数（大数分解，字符串处理函数）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
a,b=map(int,input().split())
for i in range(a,b+1):
save=i
ans=[] # 保存分解的数
for j in range(2,int(math.sqrt(i))+1):
if i%j==0:
while i%j==0:
ans.append(str(j))
i=i//j
if i >1: # 剩下的质数或者本身是质数没有分解，例如15，5，7
ans.append(str(i))
print(str(save)+'='+'*'.join(ans)) # " ".join(list) list里面的元素需要为字符类型
遍历这些数，对每一个数进行大数分解，难点在于知道分解后如果n值＞1，说明分解后剩下了一个质数或者本身是质数不能分解为其他质数，然后就是字符串拼接操作，join（）函数需要连接元素为字符串的才可以。
7.裁纸刀（思维题，内置函数的使用）
没什么难点，属于送分，需要读懂题意，就只有两种分法，使用内置函数min（）取最小值就可以了，送分！！
8.蛇形填数（思维，观察规律）
求的是对角线上元素，观察对角线上元素的规律，即 +4 +8 +12 ，发现规律了直接套一个循环就可以了。
9.最大降雨量（思维题）
34 ---------> 49-15=34，上面手误了
思维题，注意重点，即两个中位数，不确定的时候举例，举特例来证明结论。
10.排序（字典序）
理解字典序的含义，即 'a'>'b'，' a' > 'ab'，'ab'>'b'。这道题要求最短同时按照字典序，所以固定了答案，同时需要了解全排列，即 N*（N-1）/2 ，即 bca 排列成abc全排列 3*2/2=3
11.聪明的猴子（最小生成树，并查集）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
def find(x):
if x==f[x]:
return f[x]
else:
f[x]=find(f[x])
return f[x]
def merge(x,y):
if find(x)!=find(y): # 需要合根,默认合向y
f[find(x)]=find(y) # x的根指向y的根
m=int(input()) # 猴子树
leng=list(map(int,input().split())) # 存储跳跃距离
n=int(input()) # 边数
dis = [0] # 存储坐标
for i in range(n):
dis.append(list(map(int,input().split())))
edge=[] #存储边
for i in range(1,n+1):
for j in range(i+1,n+1):
w=math.sqrt((dis[i][0]-dis[j][0])**2+(dis[i][1]-dis[j][1])**2) #计算距离
edge.append((i,j,w)) # 添加边，总共添加n*（n-1）/2条边
edge.sort(key=lambda x:x[2]) # 边从小到大排序
Max=0
num=0 # 当前处理了多少条边
f=[ i for i in range(n+1)]
for i in edge:
if find(i[0]) !=find(i[1]): # 最小生成树算法处理
merge(i[0],i[1])
Max=max(Max,i[2]) #在遍历过程中记录下最长边
num+=1
if num==(n-1): # 已经构建好了最小生成树
break
ans=0 # 记录能跳的猴子数量
for i in leng:
if i>=Max:
ans+=1
print(ans)
熟悉并查集的使用，最小生成树的构建方法，学会通过并查集，使用Kruskal Algorithm算法，即边从大到小排序，依次遍历最短边来构建最小生成树的方法来构建最小生成树。
12.路径（floyd或者dijstra实现）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
# 初始化边
dp=[[2**100]*2030 for i in range(2030)]
def lcm(a,b):
return a//math.gcd(a,b)*b
# 赋初值
for i in range(1,2022):
for j in range(i+1,i+22): # 取不到最后一位
if j>2021:
break
dp[i][j]=lcm(i,j)
# floyd 算距离
for k in range(1,2022):
for i in range(1,2):
for j in range(1,2022):
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])
print(dp[1][2021])
floyd算法求得是多对多，但是时间复杂度为3阶多项式复杂度，Dijstra复杂度低一些，求的是1到多，floyd算法可以转换为求1到多，多到多，多到1。本题难点在于floyd算法的掌握，同时需要注意，floyd是通过矩阵实现的。
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
# Dijstr实现
def lcm(a,b):
return a//math.gcd(a,b)*b
def dij(s):
done=[0]*2022 # 标记是否处理过
hp=[]
dis[s]=0 # 自身到自身的距离为0
heapq.heappush(hp,(0,s)) # 入堆
while heapq:
u=heapq.heappop(hp)[1] # 出堆元素结点，边最小
if done[u]==0: # 没有被处理过
done[u]=1
#for i in dp[u]: # 遍历u的邻居 i:(v,w)
for i in range(len(dp[u])): # 遍历u的邻居 i:(v,w)
v,w=dp[u][i]
if done[v]==0: # 没有被处理过
dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w)
heapq.heappush(hp,(dis[v],v))
dp=[[] for i in range(2022)] # 邻接表
dis=[2**100] * 2022 # 初始
# 邻接表更新
for i in range(1,2022):
for j in range(i+1,i+22):
if j>2021:
break
dp[i].append((j,lcm(i,j))) # 邻居和边长
s=1 # 开始起点
dij(s)
print(dis[2021])
13.出差（最短路径，矩阵实现Dijstra算法）
import sys #设置递归深度
import collections #队列
import itertools # 排列组合
import heapq #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
def dij():
dist[1]=0 #很重要
for _ in range(n-1): # 还有n-1个点没有遍历
t=-1
for j in range(1,n+1):
if st[j]==0 and (t==-1 or dist[t]>dist[j]): #找到没处理过得最小距离点
t=j
for j in range(1,n+1):
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+gra[t][j]) # t-j的距离，找最小值
st[t]=1 # 标记处理过
return dist[n]
n,m=map(int,input().split())
#下标全部转为从1开始
stay=[0]+list(map(int,input().split()))
stay[n]=0
gra = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)]
dist = [float('inf')] * (n+1)
st=[0]*(n+1) # 标志是否处理
for i in range(m):
u,v,w=map(int,input().split()) #这里重构图
gra[u][v]=stay[v]+w
gra[v][u]=stay[u]+w
print(dij())
本题难点在于重新搭建图，即将在每个城市滞留的时间更新到图里面。同时，DIjstra算法也很重要。
模板：（邻接表）
通过heapq实现，临接表存储（v，w），使用小顶堆存储，每次出堆得到初始距离最小距离的顶点，然后判断他的临接点是否被处理过，没有就更新这些临接点的距离，然后将计算后的距离入堆，要有标记矩阵，距离矩阵，邻接表
模板：（矩阵）
通过矩阵实现存储边信息，进行n-1次循环处理剩下的点，寻找没处理过得距离初始点最短的点，然后通过他更新其他点离初始点距离值，找到最小值。需要标记矩阵，距离矩阵，，矩阵存储边。
Bellman-ford算法
n,m=map(int,input().split())
t=[0]+list(map(int,input().split()))
e=[] #简单的数组存边
for i in range(1,m+1):
a,b,c = map(int,input().split())
e.append([a,b,c]) # 双向边
e.append([b,a,c])
dist=[2**50]*(n+1)
dist[1]=0
for k in range(1,n+1): # 遍历每个点，n个点，执行n轮问路
for a,b,c in e: # 检查每条边，每一轮问路，检查所有边
res=t[b]
if b==n:
res=0
dist[b]=min(dist[b],dist[a]+c+res) # 更新路径长度
print(dist[n])
14.蓝桥王国（Dijstra算法模板题）
import heapq # 导入堆
def dij(s):
done=[0 for i in range(n+1)] # 记录是否处理过
hp=[] #堆
dis[s]=0
heapq.heappush(hp,(0,s)) #入堆，小顶堆
while hp:
u=heapq.heappop(hp)[1] #出堆元素结点
if done[u]: #当前结点处理过
continue
done[u]=1
for i in range(len(G[u])): #遍历当前结点的邻居
v,w =G[u][i]
if done[v]:continue
dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w) # 更新当前结点邻居的最短路径
heapq.heappush(hp,(dis[v],v))
n,m = map(int,input().split())#
s=1 # 从1开始访问
G=[[]for i in range(n+1)] #邻接表存储
inf = 2**50
dis = [inf]*(n+1) #存储距离
for i in range(m):# 存边，这里是单向边
u,v,w = map(int,input().split())
G[u].append((v,w)) #记录结点u的邻居和边长
dij(s)
for i in range(1,n+1):
if dis[i]==inf:
print("-1",end=' ')
else:
print(dis[i],end=' ')模板题，需要熟练掌握和牢记，这是通过heapq小顶堆实现的，掌握模板就可以了
15.蓝桥公园 （Floyd算法模板题）
import os
import sys
# 请在此输入您的代码
#floyd算法，多对多
def floyd():
global dp
for i in range(1,n+1):
for j in range(1,n+1):
for k in range(1,n+1):
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])
n,m,q = map(int,input().split())
inf=2**120
dp=[[inf]*(n+1) for i in range(n+1)]
choice=[]
for i in range(m):
u,v,w=map(int,input().split())
dp[u][v]=w
dp[v][u]=w
for i in range(q):
s,d = map(int,input().split())
choice.append((s,d))
floyd()
for s,d in choice:
if dp[s][d]!=inf:
print(dp[s][d])
continue
print(-1)
Floyd算法模板题，熟练掌握就可以了，floyd用于多对多！