天津大学2022~2023现代控制理论期末考试
天津大学2022~2023第一学期期末考试
现代控制理论
考试时间：2022年11月5日
一、简答题（共25分，每小题5分）
1.试说明线性变换不改变线性系统的传递函数。
2.简述对偶原理，对偶系统的传递函数矩阵有什么联系？
3.什么是最小实现？对于一个实现，其为最小实现的充分必要条件是什么？
4.试写出采用凯莱-哈密顿定理求状态转移矩阵的具体步骤。
5.对于一个线性系统，如何判断系统状态反馈可镇定？
二、
某系统流程图如上图所示，试求该系统的状态空间表达式，并判断该系统的能控和能观性。（12分）
三、 已知系统 x ˙ = [ 0 0 − 1 1 0 − 3 0 1 0 ] x + [ 1 1 0 ] u ， y = [ 0 1 − 2 ] x \dot{x} =\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 &0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1 \\1 \\0\end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 0 & 1 &-2\end{bmatrix}x x˙=⎣⎡010001−1−30⎦⎤x+⎣⎡110⎦⎤u，y=[01−2]x
试判断系统能控性并对该系统进行能控性分解，求该系统的传递函数阵（12分）
四、已知非线性系统 { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − ( 1 + x 2 ) 2 x 2 − x 1 \left\{\begin{matrix}\dot{x}_{1}=x_{2} \\\dot{x}_{2}=-\left ( 1+ x_{2}\right ) ^{2}x_{2}-x_{1}\end{matrix}\right. {x˙1=x2x˙2=−(1+x2)2x2−x1
试采用李雅普诺夫第二法分析该系统稳定性（10分）
五、已知系统 x ˙ = [ 0 1 − 2 − 3 ] x + [ 0 1 ] u ， y = [ α 1 ] x \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 &-3 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} \alpha &1 \end{bmatrix}x x˙=[0−21−3]x+[01]u，y=[α1]x
（1）试判断系统的能控性，若系统完全能观，求 α \alpha α取值范围（5分）
（2）设状态反馈 u = k x + v u=kx+v u=kx+v，求状态反馈阵 k = [ k 0 k 1 ] k=\begin{bmatrix} k_{0}&k_{1} \end{bmatrix} k=[k0k1]使得系统配置极点为 − 2 ± j 2 -2\pm j2 −2±j2（6分）
六、已知系统 x ˙ = [ 0 1 1 0 ] x + [ 1 0 ] u ， y = [ α 1 ] x \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} \alpha &1 \end{bmatrix}x x˙=[0110]x+[10]u，y=[α1]x
（1）设计全维观测器使其极点配置在 − 5 -5 −5， − 5 -5 −5（9分）
（2）对状态观测器设计状态反馈使得系统极点配置在 − 2 -2 −2， − 3 -3 −3（9分）