【LeetCode-中等】53. 最大子数组和（详解）

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

方法1：动态规划1

作者：guanpengchn

链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solution/hua-jie-suan-fa-53-zui-da-zi-xu-he-by-guanpengchn/

思路

这道题用动态规划的思路并不难解决，比较难的是后文提出的用分治法求解，但由于其不是最优解法，所以先不列出来
动态规划的是首先对数组进行遍历，当前最大连续子序列和为 sum，结果为 ans
如果 sum > 0，则说明 sum 对结果有增益效果，则 sum 保留并加上当前遍历数字
如果 sum <= 0，则说明 sum 对结果无增益效果，需要舍弃，则 sum 直接更新为当前遍历数字
每次比较 sum 和 ans的大小，将最大值置为ans，遍历结束返回结果
时间复杂度：O(n)O(n)

这道题也可以这么想：

1.假如全是负数，那就是找最大值即可，因为负数肯定越加越大。

2.如果有正数，则肯定从正数开始计算和，不然前面有负值，和肯定变小了，所以从正数开始。

3.当和小于零时，这个区间就告一段落了，然后从下一个正数重新开始计算(也就是又回到 2 了)。而 dp 也就体现在这个地方。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int ans = nums[0];
        int sum = 0;
        for(int num: nums) {
            if(sum > 0) {
                sum += num;
            } else {
                sum = num;
            }
            ans = Math.max(ans, sum);
        }
        return ans;
    }
}

效果

 这中方法，代码不难，但思路比较难，很难想到吧

方法2：动态规划2

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solution/zui-da-zi-xu-he-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
 

思路：

用 f（i）表示最大子数组和，那么可以推出：

我们只需要将数组每个位置的 f(i) 求出来，返回最大的那个即可。

也就是前面的 最大数组和 + 当前这个数 大？还是当前这个数大

这个思路真是奇妙，加不加这个数让计算机自己去判断，究竟是加这个数好呢？还是从这个数重新开始加比较好？不用我们自己进行 大于0 怎么怎么样，小于0怎么怎么样。 

（没看懂可以先看下面的代码和实例）

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (int x : nums) {
            pre = Math.max(pre + x, x);
            maxAns = Math.max(maxAns, pre);
        }
        return maxAns;
    }
}

例如：

数组有5个元素

那么pre：前1个数的最大子数组和 = max（0 + 第1个数，0）

那么pre：前2个数的最大子数组和 = max（前1个的最大子数组和 + 第2个数，第2个数）

那么pre：前3个数的最大子数组和 = max（前2个的最大子数组和 + 第3个数，第3个数）

那么pre：前4个数的最大子数组和 = max（前3个的最大子数组和 + 第4个数，第4个数）

那么pre：前5个数的最大子数组和 =max（前4个的最大子数组和 + 第5个数，第5个数）

我们最后返回maxAns的是上面5个中的最大值

实际例子：

       

 pre = 0 ，maxAns = 0

            pre = Math.max(pre + x, x);
            maxAns = Math.max(maxAns, pre);

        遍历数组

        第1个元素 ，pre = max(0-2,-2) = -2，maxAns = max(0,-2)=0

        第2个元素 ，pre = max(-2+1,1) = 1，maxAns = max(0,1)=1

        第3个元素 ，pre = max(1-3,-3) = -2，maxAns = max(1,-2)=1

        第4个元素 ，pre = max(-2+4,4) = 4，maxAns = max(1,4)=4

        第1个元素 ，pre = max(4-1,-1) = 3，maxAns = max(4,3)=4

        第2个元素 ，pre = max(3+2,2) = 5，maxAns = max(4,5)=5

        第3个元素 ，pre = max(5+1,1) = 6，maxAns = max(5,6)=6

        第4个元素 ，pre = max(6-5,-5) = 1，maxAns = max(6,1)=6

        第4个元素 ，pre = max(1+4,4) = 5，maxAns = max(6,5)=6

效果很好，这个思路真是奇妙，加不加这个数让计算机自己去判断，究竟是加这个数好呢？还是从这个数重新开始加比较好？不用我们自己进行 大于0 怎么怎么样，小于0怎么怎么样。