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（边学边更新）
1.1 逻辑和逻辑学
以推理形式为主要研究对象的学科
1.2 推理和推理形式
推理：从已知条件（前提）得出结论的过程
证明定理：用公理、定理推出新定理。
推理形式：推理的结构。同类的不同具体推理具有共同的结构，即推理形式。
1.3 有效推理形式
定义：真前提通过有效推理形式只能得到真结论。即：通过有效推理形式，从真前提不会得到假结论。
举例，如果前提是假的，尽管推理形式是对的，但是不能保证得到真结论。也就是说逻辑就像计算器，只保证推理形式的有效，正确，至于你输入的对错，输出的对错，它不能保证。
1.4 逻辑学的特点
抽象性、应用性、工具性
抽象性：（非具象）数理逻辑的公理系统中：符号只是符号本身，具有非常高的抽象性。
逻辑是一门高度抽象的学科，应用广，能用在各个具体学科（数学、物理学、编程等），可作为一种工具。
1.5 逻辑学的基本准则
也叫基本规律、基本原则
逻辑学内部术语不统一、逻辑学只研究推理相关的，不同于生活中逻辑的意思比较广。
同一律、（不）矛盾律、排中律（这三个不管在传统逻辑还是现代数理逻辑里面都是一以贯之、贯彻始终的）
同一律：A是A。比如写文章，要文对题，不跑题；又比如辩论时候要论证自己的辩题，不跑题。名和实要统一。
矛盾律：A不是非A。也叫A和A的否定不能同时成立。比如矛和盾的故事。（自相矛盾不能成立，互相矛盾不能同时成立）
排中律：A和A的否定必有一真。两个是互补的，总有一个是真的。比如男生和女生是互补的，不会有一个人既是男生，又是女生，或者都不是。因此一个人要么是女生，要么是男生，不可能有其他情况。
1.6 逻辑学和其他学科的关系
哲学、数学、语言学、计算机科学
狭义的哲学不再包括逻辑学。逻辑实证主义研究哲学。
公理化方法研究数学。数理逻辑：数学的方法、数学的语言和数学的工具来研究推理（逻辑）。数理逻辑的成果又回过来为数学服务。离散数学中主要的部分就是数理逻辑。
语言：逻辑的载体。
计算机：演绎：一般到个别；归纳：个别到一般。计算机总的来说只能做演绎，不能做归纳。人都可以归纳，小孩都行。计算机目前只有加了条件的归纳可以做。归纳逻辑还没有做出来，所以不能应用到计算机上。
1.7 关于本课程逻辑学概论
传统逻辑即古典逻辑，以古希腊亚里士多德为代表的；数理逻辑是现代逻辑，西方以莱布尼茨为创始人。
本门课兼顾传统与数理逻辑，用数理逻辑的思路，内容包括数理逻辑最基础的部分和传统逻辑里面最常用的部分。
逻辑学产生和发展
2.1 中国古代逻辑思想上
希腊印度中国
中国春秋战国时期，很少专门研究推理，贯穿在其他材料中。
儒家的孔子正名，荀子也有正名，讲名和实的关系。必须要正名，名正言顺事成。
白马非马—公孙龙的命题《白马论》：把非理解为不等于，而不是不属于，也就是白马不等于马，但可以属于马。（用数理逻辑就是数学符号的人工语言好理解，用传统逻辑的日常语言不好理解有歧义）
2.2 中国古代逻辑思想中
濠梁之辩：《庄子外篇秋水第十七》庄子与惠子辩鱼之乐。关于“安”字的释义是怎么（表否定）还是哪里（表地点） 违反同一律
矛盾之说：《韩非子难一》违反矛盾律
2.3 中国古代逻辑思想下
最高成就：《墨子》的《墨经》（也叫《墨辩》）
《墨经》提出比较完整的逻辑体系：
经上、经下、经说上、经说下（经说解释经）、大取、小取（余论，探讨辩论与认识事物方面的问题）。
知识的来源：亲知（自己直接感受到的）、闻知（别人告诉我的）、说知（说：推理，自己根据素材，通过一定方法推理得出）。
知识的内容：名知（知道名字）、实知（知道实际的东西）、合知（名字和东西能对上号）、为知（名实合一后，实践它）。
后期墨家逻辑，即墨辩逻辑（推理）很重要：“以名举实，以辞抒意，以说出故”——《墨经小取》（用不同的名对应不同的实，用句子表达一个意思，用推理可以知道事物的原因）即现代逻辑的词项或概念、命题或判断、推理这三个部分。
2.4 印度古代逻辑
古代论辩术（公元前5-前3世纪）。正理论（婆罗门教）。因明（佛教）。
因明（明：关于什么的学问；因：推理）：创始人为“龙树”（约2-3世纪）、“陈那”（约425-495）开创新因明，《因明正理门论》、《集量论》、“商羯罗主”（5世纪）：《因明入正理论》。
因明的主要概念：宗（论题、结论）、因（理由、眼见事实）、喻（推理、例子）——为因明的三支论式：
宗：此山有火
因：因有烟故
喻：凡有烟均有火，如厨房（同喻）；凡无烟均无火，如湖（反喻）
早期叫做五支论式：宗、因、喻、合、结（用五个部分说明一个推理）
因明的东传（因为佛教在印度让于印度教和伊斯兰教，反而在后世佛教兴盛于东亚其他国家）
汉传佛教 玄奘（约600-664）提出“唯识比量”（“直唯识量”）；翻译《因明正理论》、《因明入正理论》
藏传佛教
2.5 古希腊和中世纪逻辑
古希腊学者：苏格拉底、柏拉图等
亚里士多德 逻辑学之父：《工具论》六篇。代表：三段论（是一个有效推理形式）。
麦加拉——斯多阿学派逻辑：构造了命题逻辑系统，构造了公理系统。
中世纪逻辑：继承发展古希腊和阿拉伯的逻辑思想，建立经院逻辑体系。并开始教学。
2.6 近代西方逻辑
归纳逻辑
弗兰西斯培根《新工具》（批判三段论即《工具论》没有用，三段论是演绎，说的是题中固有之意，不能发现新的东西）：（鼓吹归纳，贬低演绎）发现（即归纳），思想（即演绎），记忆，传递。
（我们现在仍然没有在归纳上做出好的成果）
培根的归纳方法：三表法——出现表（具有表），不出现表（缺乏表），程度表（比较表）。
在培根的归纳三表法基础上，密尔（穆勒）John Stuart Mill （1806-1873）：求因果五法 （现在也在用）
辩证逻辑
康德（1724-1804） 《纯粹理性批判》先验逻辑
黑格尔 （1770-1831）《逻辑学》思想范畴的辩证发展
2.7 数理逻辑的提出和实现
提出者：莱布尼茨 （1646-1716）《论组合术》提出关于数理逻辑的思想，设想建立“普遍的符号语言”：思想的字母、思维的演算
（哲学争论多，数学争论少。因为哲学没有共同语言，语词意义不同，数学有共同语言，名实对应。）
数理逻辑的实现：布尔（1815-1864）《逻辑的数学分析》、《思维规律的研究》创立逻辑代数、实现逻辑演算（命题演算）
（与、或、非的运算）（布尔代数无法运算三段论，因为三段论有量词“所有”、“有些”等，布尔代数不含有量词）
德-摩根 （1806-1871）：《形式逻辑》《论三段论3和一般逻辑》《论三段论4和关系逻辑》创建关系逻辑
（比如“锅比盆大”说不清楚：用自然语言说不清楚，用数学语言能说清楚）
弗雷格（1848-1925）：《概念文字》，引入量词，实现谓词演算（所有、有些这些量词怎么演算）。
罗素（1872-1970）：《数学原理》（合作者：怀特海） 建立完备的命题演算和谓词演算，成为逻辑演算的经典系统。（莱布尼茨的设想至此完成）
2.8 数理逻辑的发展
数理逻辑的内容——两个演算和四论：
逻辑演算（命题演算、谓词演算）
证明论
集合论（公理集合论和素朴集合论）
递归论
模型论
发展：
希尔伯特（1862-1943）
哥德尔（1906-1978）
图灵（1912-1954）
塔尔斯基（1902-1983）
非经典逻辑（非标准逻辑）的出现
经典逻辑（标准逻辑）：以罗素、怀特海《数学原理》为代表；
非经典逻辑（非标准逻辑）：多值逻辑、模糊逻辑、模态逻辑、广义模态逻辑、弗协调逻辑（要违反一些经典逻辑）......
经典逻辑的系统是非经典逻辑系统的子系统
3.1 推理和命题
推理：从前提（已知条件）得出结论的过程。
推理的前提和结论都是命题。
命题：对事物及其情况（性质、关系）的陈述
（性质）北京是一个大城市、（关系）张三和李四是同班同学。
命题的真值（命题一定有真值）：命题的真假情况 （我的遐想：薛定谔的猫？）
命题是一种陈述、是一种句子。句子不一定是命题。命题一定是用句子的形式表达的。（一个句子，讲出事物及其情况才是命题，如“今天是星期几”这个句子就不是命题）
3.2 基本命题和复合命题
基本命题：本身不再包含其他命题的命题。
复合命题：由一个或多个基本命题加上命题联结词所构成的命题。
如：
基本命题：今天下雨。今天刮风。
复合命题：今天下雨，并且今天刮风。
基本命题和复合命题其真值的确定：
1、基本命题的真值：逻辑学本身不能确定其所陈述的孤立的基本命题的真值。 （推理本身不能确定，由逻辑以外的各门具体学科来确定）
2、复合命题的真值：由作为其组成部分的基本命题之真值和相关的命题联结词之性质所共同决定。
基本命题：今天下雨（假）。今天刮风（真）。
复合命题：今天下雨，并且今天刮风。（一个假一个真，“并且”，因此该复合命题是“假”）
3、对某些有特定结构的复合命题，逻辑学本身即可确定其真或假。
比如：明天或者下雨，或者不下雨。（该复合命题逻辑上一定真）
总结：逻辑不能确定基本命题的真假，逻辑参与确定复合命题的真假，对于某些有特定结构的复合命题，逻辑可以独立地确定它的真假。
逻辑学研究的不是具体的命题，而是同类的具体命题所共同具有的命题形式，即命题结构。
命题形式用一定的符号表示。以特定符号表示不同的命题联结词，以p表示基本命题（命题：proposition）
3.3 常用命题联结词及其基本推理形式1——否定
这里将给出各命题联结词的名称、符号、真值表、基本推理形式。
真值表：显示命题形式在各种可能情况下的真值。
在真值表中，通常以p1/p1/p3或p/q/r等表示基本命题。以T表示真，F表示假。
3.4 常用命题联结词及其基本推理形式2——合取（并且/而且）
3.5 常用命题联结词及其基本推理形式3——析取（或者/要么）
记忆名称、符号和真值表，而基本推理形式不必记忆，当做例子看看就行，因为逻辑的任务在后面进行有效性判定。
3.6 常用命题联结词及其基本推理形式4——不相容析取
析取出现时候，默认是相容的。在数理逻辑中，不相容析取符号不会出现，需要用下面的这个析取符号与合取符号的式子表达不相容析取。
3.7 常用命题联结词及其基本推理形式5——蕴涵（最重要的一个，对应自然语言的：如果那么，若则，一就，相当于充分条件）
蕴涵怪论：假命题蕴涵任何命题——为真；任何命题蕴涵真命题——为真
比如：和朋友打赌，“皇马输球，请朋友吃饭”，“皇马输球蕴涵请朋友吃饭”体现你这个人信用真假，大家开不开心。
下面的基本推理形式也用输球请客来理解
小孩一考试就紧张，一紧张就考不好，一考不好就挨打，推理出：一考试就挨打/没挨打则没考试。如果为假，说明某个前提不成立。
3.8 常用命题联结词及其基本推理形式6——反蕴涵（只有什么什么，才什么什么，相当于必要条件）
比如：我只有“天气好”，才“去爬山”。 天气好反蕴涵去爬山，该命题真值如何。（天气好，没去爬山，也是可以的；天气不好，没去爬山，也是对的）
总结：蕴涵——前真 后假 是 假的；反蕴涵——前假 后真 是 假的。
基本推理形式与蕴涵的相反，同样有易位式、连锁式。
在数理逻辑文献中，反蕴涵是不出现的，用蕴涵的倒式子来表达。
3.9 常用命题联结词及其基本推理形式7——等值（当且仅当，相当于充分必要条件）
数理逻辑中一般不出现这个等值，如果有，用蕴涵和合取来代替，下图。
综上，不相容析取、反蕴涵、等值的符号在数理逻辑中不出现；否定、合取、析取、蕴涵的符号出现。
依次为：否定、合取、析取、不相容析取、蕴涵、反蕴涵、等值。
依次为：否定、合取、析取、蕴涵
在继续下面的学习中，要把这个表记熟。
否定：真假、假真
合取：两个都真才真，否则假
析取：两个都假才假，否则假
蕴涵：前真后假则为假，否则真
后面学习有效推理形式的判定。
第四讲 复合命题的推理：有效推理形式的判定
4.1 重言式、矛盾式和可满足式
根据可能的真值情况，分为：
重chong言式（同语反复）tautology （永真式）:任何情况下一定是真的
矛盾式contradiction （永假式）：任何情况下一定是假的
可满足式satisfaction：某些情况下，其真值为真；某些情况下，其真值为假。
（每一个基本命题，都是可满足式逻辑本身不能确立孤立的基本命题的真假）
4.2 具体推理转换为推理形式
（注意这里不是判断蕴涵这一整个复合命题的真假，只是做具体到推理形式的转换，比如第二个，今天不是星期二，那么就是否p）
具体推理转换为推理形式：用逻辑符号（命题变元即基本命题符号、命题联结词符号及括号）把自然语言推理中的前提和结论写成命题形式，从而形成推理形式。
4.3 推理形式转换为复合命题形式
上半部分是推理形式，下半部分是命题形式。
总结：用合取、蕴涵符号以及括号把推理形式转换为复合命题形式。
4.4 有效推理形式的判定：真值表法
有效推理形式可以转换为复合命题形式。那么，判断有效推理形式是否有效，就是判断该复合命题形式是否为“重言式”（永真）
（有效推理形式所对应的复合命题形式当且仅当是重言式）
标绿色的一列就是最终得出的蕴涵的真值结果（前真后假则为假，这里p命题的两种情况其结果都是真，所以该复合命题形式是重言式，所以该有效推理形式是有效的）。
真值表法：
1、列出某一命题形式中命题变元的全部真值或真值组合；
2、根据命题变元的真值和相关命题联结词的性质，逐步写出在命题变元的各种真值或真值组合下该命题形式的真值；
3、若某一命题形式在命题变元的全部真值或真值组合下其真值均为真，则证明该命题形式为重言式。
判定重言式的真值表法是能行的方法，即：用机械的方法，在有限的步骤内，一定可以得出结果。
4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
真值表法工作庞大，而归谬赋值法较为简单。