有向图强连通分量的Tarjan算法

转载自原博客：beyond the void

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

 

  
    

   
     
   
     Low(u)
   
     =
   
     Min
{
 DFN(u),
 Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
 DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

  
    

 

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

 

代码

   
     

    
      
    
      tarjan(u)
{
 DFN[u]
    
      =
    
      Low[u]
    
      =++
    
      Index 
    
      //
    
       为节点u设定次序编号和Low初值
    
      

    
       Stack.push(u) 
    
      //
    
       将节点u压入栈中
    
      

    
       
    
      for
    
       each (u, v) 
    
      in
    
       E 
    
      //
    
       枚举每一条边
    
      

    
       
    
      if
    
       (v 
    
      is
    
       not visted) 
    
      //
    
       如果节点v未被访问过
    
      

    
       tarjan(v) 
    
      //
    
       继续向下找
    
      

    
       Low[u] 
    
      =
    
       min(Low[u], Low[v])
 
    
      else
    
       
    
      if
    
       (v 
    
      in
    
       S) 
    
      //
    
       如果节点v还在栈内
    
      

    
       Low[u] 
    
      =
    
       min(Low[u], DFN[v])
 
    
      if
    
       (DFN[u] 
    
      ==
    
       Low[u]) 
    
      //
    
       如果节点u是强连通分量的根
    
      

    
       repeat
 v 
    
      =
    
       S.pop 
    
      //
    
       将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
    
      

    
       print v
 until (u
    
      ==
    
       v)
}
   
     

 

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

 

  
    

   
     
   
      1 
   
     void
   
      tarjan(
   
     int
   
      i)

   
      2 
   
     {

   
      3 
   
      
   
     int
   
      j;

   
      4 
   
      DFN[i]
   
     =
   
     LOW[i]
   
     =++
   
     Dindex;

   
      5 
   
      instack[i]
   
     =
   
     true
   
     ;

   
      6 
   
      Stap[
   
     ++
   
     Stop]
   
     =
   
     i;

   
      7 
   
      
   
     for
   
      (edge 
   
     *
   
     e
   
     =
   
     V[i];e;e
   
     =
   
     e
   
     ->
   
     next)

   
      8 
   
      {

   
      9 
   
      j
   
     =
   
     e
   
     ->
   
     t;

   
     10 
   
      
   
     if
   
      (
   
     !
   
     DFN[j])

   
     11 
   
      {

   
     12 
   
      tarjan(j);

   
     13 
   
      
   
     if
   
      (LOW[j]
   
     <
   
     LOW[i])

   
     14 
   
      LOW[i]
   
     =
   
     LOW[j];

   
     15 
   
      }

   
     16 
   
      
   
     else
   
      
   
     if
   
      (instack[j] 
   
     &&
   
      DFN[j]
   
     <
   
     LOW[i])

   
     17 
   
      LOW[i]
   
     =
   
     DFN[j];

   
     18 
   
      }

   
     19 
   
      
   
     if
   
      (DFN[i]
   
     ==
   
     LOW[i])

   
     20 
   
      {

   
     21 
   
      Bcnt
   
     ++
   
     ;

   
     22 
   
      
   
     do
   
     

   
     23 
   
      {

   
     24 
   
      j
   
     =
   
     Stap[Stop
   
     --
   
     ];

   
     25 
   
      instack[j]
   
     =
   
     false
   
     ;

   
     26 
   
      Belong[j]
   
     =
   
     Bcnt;

   
     27 
   
      }

   
     28 
   
      
   
     while
   
      (j
   
     !=
   
     i);

   
     29 
   
      }

   
     30 
   
     }

   
     31 
   
      
   
     void
   
      solve()

   
     32 
   
     {

   
     33 
   
      
   
     int
   
      i;

   
     34 
   
      Stop
   
     =
   
     Bcnt
   
     =
   
     Dindex
   
     =
   
     0
   
     ;

   
     35 
   
      memset(DFN,
   
     0
   
     ,
   
     sizeof
   
     (DFN));

   
     36 
   
      
   
     for
   
      (i
   
     =
   
     1
   
     ;i
   
     <=
   
     N;i
   
     ++
   
     )

   
     37 
   
      
   
     if
   
      (
   
     !
   
     DFN[i])

   
     38 
   
      tarjan(i);

   
     39 
   
     }