信号与系统_冲激函数匹配法

目的：知0_- 求 0_+
时间段：0_-≤ t 〖≤0〗_+

列举出一些需要知道的知识

1.狄拉克（Dirac）给冲激函数这样定义{█(∫_(-∞)^∞▒〖δ(t)=1〗,&@δ(t)=0,&t≠0)┤
2.△u(t)={█(0 ，t≤0@1 ，t=0_+@0 ，t>0_+ )┤
在这里△u（t）可视为常数1。即∫_(0_- )^(0_+)▒〖△u（t）dt〗=1
3. △u(t)的微分是δ(t)

我们应该知道冲激函数匹配法，本质上就是根据等式左右两端的阶数应相同。
等式一般为含有冲激函数或其导数的微分方程。

下面我将给出一个例子用来解释。
d/dt r(t)+3r(t)=3δ’(t) ①
右式含有δ’(t)函数，所以左式最高阶次的导数即r’(t)应该含有δ’(t)。可能有的读者不理解，我们不妨反证一下，如果r(t)含有δ’(t)，那r’(t)就得δ‘’(t)，这样的话等式左右两端就不平衡了。

下面我们来推导一下d/dt r(t)和r(t)
我们不妨先设d/dt r(t)=3 δ’(t) ②,
那么r(t)=∫_(-∞)^t▒〖d/dt r(t)〗=3δ(t) ③
将以上②③式代入①，发现等式不平衡d/dt r(t)应该补充一项，即d/dt r(t)= 3δ’(t)-9δ(t)，那么r(t)=3δ(t)-9△u(t)，再重复代入的步骤，最后得
d/dt r(t)= 3δ’(t)-9δ(t)+ 27△u(t)
r(t)=3δ(t)-9△u(t)
了解以上推导的过程后，我们可以总结出一种更简便的方法，即待定系数法法。
还是用上面①式的微分方程为例
d/dt r(t)+3r(t)=3δ’(t)
我们不妨设
d/dt r(t)= aδ’(t)+bδ(t)+ c△u(t)
那么r(t)=aδ(t)+b△u(t)
将d/dt r(t) r(t)代入微分方程，对应系数相等
得{█(a=3@b+3a=0@3b+c=0)┤ 解{█(a=3@b=-9@c=27)┤
即d/dt r(t)= 3δ’(t)-9δ(t)+ 27△u(t)
r(t)=3δ(t)-9△u(t)
发现这里的得到的答案和上面推理的是一样的。

下面我们再举一个例子
选于《信号与系统引论》郑君里版本

如图所示，在激励信号电流源i_s (t)=δ(t)的作用下，求电感支路电流i_L (t)。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流i_R (0_- )、i_C (0_- )和i_L (0_- )都为零。
列写微分方程
LC(d^2 i_L (t))/〖dt〗^2 + (L di_L (t))/(R dt) + i_L (t)= i_s (t)
整理得(d^2 i_L (t))/〖dt〗^2 + ( 1 di_L (t))/(R C dt) + 1/LC i_L (t)= 1/LC δ(t)
应用冲激函数匹配法
设i_L’’(t)= aδ(t)+b△u(t)
则i_L’(t) = a△u(t)
则i_L (t) = 0
代入微分方程得到
{█(a=1/LC@b+a/RC=0)┤ {█(a=1/LC@b=L/R)┤
所以
i_L’’(t)= 1/LC δ(t)+ L/R△u(t)
i_L’(t) = 1/LC△u(t)
i_L (t) = 0
所以i_L (0_+)=i_L (0_-)+0=0
i_L’(0+) =i_L’ (0_-) + 1/LC = 1/LC 根据0_+ 可以求系数A
给出此解的物理解释： 在激励作用瞬间，电感支路电流 i_L (t)没有发生跳变，而他的电压(L di_L (t))/( dt)出现了1/C的跳变值，当然这也是电容两端电压的跳变值。

笔者在此仅讨论冲激函数知0_- 求 0_+的这一过程，就不再继续作出求i_L (t)的过程了。
有兴趣的读者可以参阅《信号与系统引论》郑君里版本。